Relations entre la convexité dans le complexe et le prolongement des propriétés dans le réel
Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 4, p. 13-46

Chapter I indicates the growth of ω and of the convex function C in order that from log|F(z)|π|y|-ω(|y|) (y= Im z), log|F(n)|-C(|n|) (n any integer, F entire function) follows that log|F(z)|π|y|-C(a|z|). Chapter II shows functional properties which are necessarily true all over [-π,π] if they are supposed on a part of [-π,π], provided the corresponding Fourier series is “sufficiently” lacunary. Chapter III shows analogies between methods of II and those used in adherent series.

Dans le chapitre I on indique la croissance de ω et de la fonction convexe C pour que de log|F(z)|π|y|-ω(|y|) (y= Im z), log|F(n)|-C(|n|) (n entier quelconque, F fonction entière) résulte log|F(z)|π|y|-C(a|z|). Dans le chapitre II on indique des propriétés fonctionnelles qui sont nécessairement valables sur [-π,π] si on les suppose sur une partie de cet intervalle, la série de Fourier correspondante étant “assez” lacunaire.

Le chapitre III montre l’analogie entre les méthodes employées dans II et celles utilisées dans les séries adhérentes.

@article{AIF_1972__22_4_13_0,
     author = {Mandelbrojt, Szolem},
     title = {Relations entre la convexit\'e dans le complexe et le prolongement des propri\'et\'es dans le r\'eel},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {22},
     number = {4},
     year = {1972},
     pages = {13-46},
     doi = {10.5802/aif.433},
     zbl = {0252.30031},
     mrnumber = {49 \#580},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1972__22_4_13_0}
}
Relations entre la convexité dans le complexe et le prolongement des propriétés dans le réel. Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 4, pp. 13-46. doi : 10.5802/aif.433. http://www.numdam.org/item/AIF_1972__22_4_13_0/

[1] V. Bernstein, Leçons sur les progrès récents de la théorie des séries de Dirichlet, Gauthier-Villars, Paris, 1933. | JFM 59.1027.02 | Zbl 0008.11503

[2] S. Mandelbrojt, C.R. de l'Académie des Sciences, 209, 1939, p. 977. | JFM 65.1187.01 | Zbl 0024.30402

[3] S. Mandelbrojt, Quasi-analyticity and properties of flatness of entire functions, Duke Math. Journal, vol. 9, n° 4, 1942. | MR 4,155e | Zbl 0060.15109

[4] S. Mandelbrojt, Séries de Fourier et classes quasi-analytiques de fonctions. Gauthier-Villars, Paris, 1935. | JFM 61.1117.05 | Zbl 0013.11006

[5] S. Mandelbrojt, Séries adhérentes, régularisation des suites, applications, Gauthier-Villars, Paris, 1952. | Zbl 0048.05203

[6] S. Mandelbrojt, Fonctions entières et transformées de Fourier, applications, Publications of the Mathematical Society of Japan, 1967. | MR 37 #5607 | Zbl 0172.09302

[7] S. Mandelbrojt, Comptes-Rendus, 272, série A, 1971, p. 1041. | Zbl 0219.42012

[8] S. Mandelbrojt, Comptes-Rendus, 272, série A, 1971, p. 975.

[9] S. Mandelbrojt, École Polytechnique, 2e série, C. n° 32, 1934, p. 327.