Ensembles de Sidon topologiques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 3, pp. 51-79.

On étudie les ensembles de Sidon d’un groupe abélien localement compact et métrisable Γ. Après avoir démontré des résultats sur la réunion, l’élargissement et la stabilité de ces ensembles lacunaires, on détaille le résultat fondamental de ce travail : lorsque le dual G de Γ est connexe, toute partie compacte d’intérieur non vide de G est associée à tout ensemble de Sidon de Λ. Autrement dit, étant donné un compact K d’intérieur non vide de G, toute fonction bornée à valeurs complexes définie sur un ensemble de Sidon Λ de Γ est la restriction à Λ de la transformée de Fourier d’une mesure de Radon bornée sur G, à support dans K.

The purpose of this paper is to study topological Sidon sets on a metrizable locally compact abelian group Γ. Several results are proved on the union, enlarging and stability of such sets. Suppose that the dual group G of Γ is connected, the following result is proved: every compact subset of G with non empty interior is associated to every Sidon set of Γ. More precisely: given every compact subset K of G with non empty interior, to every complex valued bounded function defined on a Sidon set Λ of Γ corresponds a bounded Radon measure supported by K whose Fourier transforms restricted to Λ is the given function.

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Dechamps-Gondim, Myriam. Ensembles de Sidon topologiques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 3, pp. 51-79. doi : 10.5802/aif.424. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.424/

[1] A. Bonami, Etude des coefficients de Fourier des fonctions de Lp (G). Thèse, Faculté des Sciences d'Orsay, 1970.

[2] A. Bonami, Communication orale.

[3] M. Dechamps-Gondim, Compacts associés à un ensemble de Sidon. Comptes-rendus, t. 271, (1970), 590. | MR | Zbl

[4] M. Dechamps-Gondim, Sur les ensembles de Sidon topologiques. Comptes-rendus, t. 271, (1970), 1247. | MR | Zbl

[5] S.W. Drury, Sur les ensembles de Sidon. Comptes-rendus, t. 271, (1970), 162. | MR | Zbl

[6] V.F. Gaposkin, A question on the absolute convergence of lacunary series. Izv. Akad. N.S.S.S.R., Ser. Mat., 31, (1967), 1271-1288.

[7] E. Hewitt and K. Ross, Abstract Harmonic Analysis. Vol. I, II. Springer Verlag, (1970).

[8] J.P. Kahane, Sur les fonctions moyennes périodiques bornées. Ann. Inst. Fourier, 7, (1957), 293-314. | Numdam | MR | Zbl

[9] J.P. Kahane and H. Helson, A Fourier method in diophantine problems. J. Anal. Math 15, (1965), 245-262. | MR | Zbl

[10] J.P. Kahane, Séries de Fourier absolument convergentes, Springer-Verlag, 1970. | MR | Zbl

[11] J.F. Mela, Suites lacunaires de Sidon, ensembles propres et points exceptionnels, Ann. Inst. Fourier, 14, (1964), 533-538. | Numdam | MR | Zbl

[12] J.F. Mela, Approximation diaphantienne et ensembles lacunaires, Bull. Soc. Math. Fr., 19, (1969), 26-54. | Numdam | MR | Zbl

[13] J.F. Mela, Sur certains ensembles exceptionnels en Analyse de Fourier, Ann. Inst. Fourier, 18, (1968), 31-71. | Numdam | MR | Zbl

[14] J.F. Mela, Problèmes de pseudo-périodicité, à paraître. | Numdam | Zbl

[15] Y. Meyer, Elargissement des ensembles de Sidon sur la droite, Sem. d'Anal. Harm. d'Orsay, (1967-1968), exposé n° 2.

[16] Y. Meyer, Nombres de Pisot, Nombres de Salem et Analyse Harmonique, Springer Verlag, 117, (1970). | Zbl

[17] Y. Meyer et J.P. Schreiber, Quelques fonctions moyennes périodiques non bornées, Ann. Inst. Fourier, 19, (1969), 231-236. | Numdam | MR | Zbl

[18] W. Rudin, Fourier Analysis on Groups, Inters. tr, (1962). | MR | Zbl

[19] N. Varopoulos, Some combinatorial problems in harmonic analysis. Summer School in Harm. Analysis, Warwick, (1968).

[20] A. Zygmund, Quelques théorèmes sur les séries trigonométriques et celles des puissances, Studia Math., 3, (1931), 77-91. | JFM | Zbl

[21] A. Zygmund, On a theoreme of Hadamard, Ann. Soc. Polon. Math., 21, (1948), 52-69. | MR | Zbl

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