La théorie des cônes biréticulés
Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 4, pp. 1-64.

Soient 𝒮 la classe des cônes convexes saillants faiblement complets et 𝒮 loc la sous-classe de 𝒮 formée des cônes localement compacts de 𝒮. Dans les dix dernières années, Alfsen, Bauer, Effros, Rogalski et Stormer ont donné de nombreuses propriétés équivalentes entre elles et qui caractérisent dans 𝒮 loc les cônes de Radon 𝔐 + (T) des mesures de Radon positives sur un espace compact T. On montre ici que ces propriétés, convenablement interprétées, restent équivalentes dans la sous-classe 𝒮 pbc des cônes presque bien coiffés de 𝒮, c’est-à-dire des cônes X de 𝒮, tels que tout élément non nul de X majore un élément non nul de X contenu dans un chapeau, et qu’elles définissent une classe remarquable de cônes, dits biréticulés. Leur étude détaillée fait l’objet des deux premiers chapitres. Au chapitre 3, on montre que les cônes biréticulés sont proches des cônes de Radon en ce sens que si X est un cône biréticulé ayant une base, il existe une injection linéaire continue de X sur une face partout dense d’un cône de Radon. On donne de nombreux exemples.

Let 𝒮 be the class of the convex weakly complete cones and 𝒮 loc the sub-class of the locally compact cones of 𝒮. In the past ten years, Alfsen, Bauer, Effros, Rogalski and Stormer have given many equivalent properties which characterize in 𝒮 loc the Radon cones 𝔐 + (T) of positive Radon measures on some compact space T. Here, we prove that these properties, suitably interpreted, are still equivalent in the sub-class 𝒮 pbc of the almost well capped cones of 𝒮, that is to say of the cones X of 𝒮 such any non zero element of X majorizes a non zero element of X contained in a cap, and that they define a remarquable class of cone which are said to be “biréticulé”. The purpose of the first two chapters is a complete study of these cones. In the third chapter, we prove that the biréticulé cones are quite similar to Radon cones in that sense that if X is a biréticulé cone having a base, there exists a continuous linear injection from X onto an everywhere dense face of a Radon cone. Many examples are given.

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Goullet De Rugy, Alain. La théorie des cônes biréticulés. Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 4, pp. 1-64. doi : 10.5802/aif.392. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.392/

[0] M. Ajlani et A. Goullet De Rugy, Les cônes biréticulés, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 270, série A (1970), 242-245. | MR | Zbl

[1] E. M. Alfsen et T. B. Andersen, Split faces of compact convex sets, Proc. Lond. Math. Soc., 21 (1970), p. 415-442. | MR | Zbl

[2] L. Asimow, Extremal structure of well-capped cones, Proc. Am. Math. Soc. 138 (1969), 363-375. | MR | Zbl

[3] H. Bauer, Kennzeichnung compacter, Simplexe mit abgeschlossener extremal Punktmenge, Archiv der Math. 14 (1963), 415-421. | Zbl

[4] M. Bony, Représentation intégrale sur les cônes convexes faiblement complets, Séminaire Choquet : Initiation à l'Analyse, 3e année (1963-1964), n° 5, 7 p. | Numdam | Zbl

[5] N. Bourbaki, Topologie Générale ; Chap. 1 et 2, Paris, Hermann (1966), 4e ed. (A.S.I. 1142). | Zbl

[6] N. Bourbaki, Topologie Générale ; Chap. 10, Paris, Hermann (1961), 2e ed. (A.S.I. 1084). | Zbl

[7] N. Bourbaki, Espaces Vectoriels Topologiques ; Chap. 1 et 2, Paris, Hermann 1966, 2e ed. (A.S.I. 1189). | Zbl

[8] N. Bourbaki, Intégration ; Chap. 1 à 4 ; Paris, Hermann (1965), 2e ed. (A.S.I. 1175). | Zbl

[9] G. Choquet, Mesures coniques maximales sur les cônes convexes faiblement complets, Séminaire Brelot-Choquet-Deny : Théorie du Potentiel, 6e année (1961-1962), n° 12, 15 p. | Numdam | Zbl

[10] G. Choquet, Études des mesures coniques. Cônes convexes saillants faiblement complets sans génératrices extrémales, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 225 (1962), p. 445-447. | Zbl

[11] G. Choquet, Les cônes convexes faiblement complets dans l'analyse, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (14, 1962, Stockholm), p. 317-330. — Djursholm, Institut Mittag-Leffler, 1963. | MR | Zbl

[12] G. Choquet, Cardinaux 2-mesurables et cônes faiblement complets, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 17 (1967), 383-389. | Numdam | MR | Zbl

[13] G. Choquet, Mesures coniques, affines, cylindriques, Instituto di Alta Matematica, Symposia Mathematica, vol. II (1968), 145-182. | MR | Zbl

[14] G. Choquet, Lectures on Analysis, volume II ; New York, Amsterdam, W. A. Benjamin (1969). | Zbl

[15] P. Courrège, Mesures sur les espaces vectoriels faibles, Séminaire Choquet : Initiation à l'Analyse, 2e année (1962-1963), n° 5. | Numdam | Zbl

[16] E. B. Davies, The Choquet theory and representation of ordered Banach spaces, Illinois J. Math., 13 (1969), 176-187. | MR | Zbl

[17] J. Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace Hilbertien ; Paris, Gauthier-Villars (1957). | Zbl

[18] N. Dunford et J. Schwartz, Linear operators, Part I ; New York, Interscience Publishers (1958). | MR | Zbl

[19] E. G. Effros, Structure in simplexes II, J. Func. Analysis, vol. I. (1967), 379-391. | MR | Zbl

[20] E. G. Effros et A. Gleit, Structure in simplexes III, Trans. A. M.S., 142 (1969), 355-379. | MR | Zbl

[21] H. Fakhoury, Une caractérisation des simplexes compacts et des cônes réticulés. Applications, Séminaire Choquet : Initiation à l'Analyse, 9e année (1969-1970), n° 2, 12 p. | Numdam | Zbl

[22] H. Fakhoury, Structure uniforme sur les cônes bien coiffés, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 270 (1970), série A, 1365-1369. | MR | Zbl

[23] A. Goullet De Rugy, Caractère réticulé de certains cônes de fonctions linéaires sur un cône convexe décomposable, Séminaire Brelot-Choquet-Deny : Théorie du Potentiel, 12e année (1967-1968), n° 5, 24 p. | Numdam | Zbl

[24] A. Goullet De Rugy, Géométrie des simplexes ; Paris, C.D.U et S.E.D.E.S. réunis, (1968). | MR | Zbl

[25] A. Goullet De Rugy, Précisions sur la représentation des cônes biréticulés comme cônes de mesures, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (1970), série A, 353-356. | MR | Zbl

[26] A. Goullet De Rugy, La topologie AA-faciale et son utilisation dans la théorie des cônes biréticulés, C.R. Acad. Sc. Paris, 271 (1970), série A, 319-323. | MR | Zbl

[27] A. Goullet De Rugy, Faces complémentables dans les cônes, Séminaire Choquet : Initiation à l'Analyse, 10e année (1970-1971), n° 2, 17 p. | Numdam | Zbl

[28] G. Mokobodzki et D. Sibony, Cônes adaptés de fonctions continues et théorie du Potentiel, Séminaire Choquet : Initiation à l'Analyse, 6e année (1966-1967), n° 5, 35 p. | Numdam | Zbl

[29] R. R. Phelps, Lectures on Choquet's theorem ; New York, Van Nostrand (1966). | MR | Zbl

[30] M. Rogalski, Étude du quotient d'un simplexe par une face fermée et application à un théorème d'Alfsen, Séminaire Brelot-Choquet-Deny : Théorie du Potentiel, 12e année (1967-1968), n° 2, 25 p. | Numdam | Zbl

[31] M. Rogalski, Caractérisation des simplexes par des propriétés portant sur les faces fermées et sur les ensembles compacts de points extrémaux, Math. Scand. (à paraître). | Zbl

[32] E. Strørmer, On partially ordered vector spaces and their duals, with applications to simplexes and C* -algebras, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 18 (1968), 245-265. | MR | Zbl

[33] V. S. Varadarajan, Measures on topological spaces, Am. Math. Soc. Tranl., 48 (1965), 161-220. | Zbl

[34] I. Namioka et R. R. Phelps, Tensor products of compact convex sets, Pac. J. Math., 31 (2) (1969), 469-480. | MR | Zbl

[35] M. Rogalski, Espaces de Banach réticulés et problème de Dirichlet ; Publications Math. fasc. Sc. Orsay (1968-1969).

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