Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus
Annales de l'Institut Fourier, Volume 19 (1969) no. 1, p. 305-359

Local solutions and supersolutions of an elliptic equation

-iuxi+jaijuxi+dju+ibiuxi+cu=0

are shown to enjoy the same properties as in the case d i =b i =c=0, namely: local solutions are a system of harmonic functions satisfying Brelot’s axioms, with superharmonic functions coinciding a.e. with local supersolutions; a maximum principle holds for subharmonic functions majorized by functions in εW 0 1,2 ; the class of superharmonic functions in εW 0 1,2 or W loc 1,2 is stable by sweeping out; finally those potentials which belong to εW 0 1,2 are characterized by finite energies. The main difficulty lies in the fact that the bilinear form Lu,ν is not coercive in general, which implies the failure of the methods used in the case d i =b i =c=0.

On étend aux solutions et sursolutions locales d’une équation elliptique de la forme

-iuxi+jaijuxi+dju+ibiuxi+cu=0

les propriétés démontrées dans le cas d i =b i =c=0 : les solutions locales forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant à l’axiomatique de M. Brelot, les fonctions surharmoniques coïncidant p.p. avec les sursolutions locales ; un principe du maximum pour les fonctions sous-harmoniques majorées par une fonction εW 0 1,2  ; la stabilité par balayage sur un ensemble quelconque des fonctions surharmoniques εW 0 1,2 ou W loc 1,2 ainsi qu’une caractérisation des potentiels εW 0 1,2 qui sont les potentiels d’énergie finie.

L’étude est ici compliquée par le fait que la forme bilinéaire associée à l’opérateur n’est pas en général coercive, de sorte que les méthodes utilisées dans le cas d i =b i =c=0 ne s’appliquent plus.

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Hervé, Rose-Marie; Hervé, Michel. Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus. Annales de l'Institut Fourier, Volume 19 (1969) no. 1, pp. 305-359. doi : 10.5802/aif.320. http://www.numdam.org/item/AIF_1969__19_1_305_0/

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