The equivalence of Harnack's principle and Harnack's inequality in the axiomatic system of Brelot
Annales de l'Institut Fourier, Volume 15 (1965) no. 2, p. 597-600

Dans l’axiomatique des fonctions harmoniques de Brelot, où l’axiome 3 (de convergence) peut être appelé principe de Harnack, on démontre ici pour les fonctions harmoniques >0 dans un domaine ω valant 1 en x 0 ω, la propriété d’égale continuité en x 0 qui peut se traduire par des “inégalités de Harnack”. Cela avait été établi par Mokobodzki grâce à l’hypothèse d’une base dénombrable d’ouverts, qui est évitée ici en utilisant le théorème d’Éberlein-Smulian.

@article{AIF_1965__15_2_597_0,
     author = {Loeb, Peter and Walsh, Bertram},
     title = {The equivalence of Harnack's principle and Harnack's inequality in the axiomatic system of Brelot},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {15},
     number = {2},
     year = {1965},
     pages = {597-600},
     doi = {10.5802/aif.224},
     zbl = {0132.33802},
     mrnumber = {32 \#7773},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1965__15_2_597_0}
}
Loeb, Peter; Walsh, Bertram. The equivalence of Harnack's principle and Harnack's inequality in the axiomatic system of Brelot. Annales de l'Institut Fourier, Volume 15 (1965) no. 2, pp. 597-600. doi : 10.5802/aif.224. http://www.numdam.org/item/AIF_1965__15_2_597_0/

[1] M. Brelot, Axiomatique des Fonctions Harmoniques, Séminaire de Mathématiques Supérieures (Été 1965), University of Montreal.

[2] M. Brelot, Lectures on Potential Theory, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay (1960). | MR 22 #9749 | Zbl 0098.06903

[3] C. Constantinescu and A. Cornea, On the Axiomatic of Harmonic Functions I, Ann. Inst. Fourier, 13/2 (1963), 373-378. | Numdam | MR 29 #2416 | Zbl 0122.34001

[4] N. Dunford and J. Schwartz, Linear Operators, Part I, General Theory, Interscience Publishers, Inc., New York, (1958). | MR 22 #8302 | Zbl 0084.10402

[5] R.-M. Hervé, Recherches Axiomatiques sur la Théorie des Fonctions Surharmoniques et du Potentiel, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 12 (1962) 415-571. | Numdam | MR 25 #3186 | Zbl 0101.08103