Étude et extensions du principe de Dirichlet
Annales de l'Institut Fourier, Volume 5 (1954), p. 371-419

Le principe de Dirichlet est modernisé en utilisant la théorie indépendante du problème de Dirichlet. On se place dans les “espaces de Green” à τ2 dim. (comprenant en particulier les surfaces de Riemann hyperboliques) et on utilise les fonctions (BLD) que Deny a introduites à partir des fonctions dites (BL) et dont les classes d’équivalence forment un espace de Hilbert (où la norme est la racine carrée de l’intégrale de Dirichlet).

Mais le point le plus important est dans l’expression des conditions-frontière. On utilise la notion récente de lignes de Green (trajectoires orthogonales des surfaces G p =C te ) sur lesquelles sont choisies une topologie et une mesure dg. La limite en moyenne-dg sur les surfaces G p = const .λ quand λ0, d’une fonction f dans est dite radiale de f. Toute fonction (BLD) admet une radiale. Cela posé, si l’on part d’une fonction f(BLD) dans E, la solution du problème de Dirichlet H f Ω n relative à un domaine Ω n tendant en croissant vers (Ω ¯ n E) a une limite qui est, à une constante près, la seule fonction harmonique (BLD) minimisant u-f ; c’est aussi la seule fonction (BLD) de radiale égale à celle de f et qui soit harmonique, ou bien de norme minima.

Tout cela est inspiré d’une étude très particulière par Bochner dans le cas de domaines limités par des sphères et dérive, comme la théorie classique depuis Nikodym, d’une interprétation géométrique dans un espace de Hilbert. L’extension faite au cas d’une partie de frontière libre suggère des recherches ultérieures.

@article{AIF_1954__5__371_0,
     author = {Brelot, Marcel},
     title = {\'Etude et extensions du principe de Dirichlet},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {5},
     year = {1954},
     pages = {371-419},
     doi = {10.5802/aif.56},
     zbl = {0067.33002},
     mrnumber = {17,603f},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1954__5__371_0}
}
Brelot, Marcel. Étude et extensions du principe de Dirichlet. Annales de l'Institut Fourier, Volume 5 (1954) pp. 371-419. doi : 10.5802/aif.56. http://www.numdam.org/item/AIF_1954__5__371_0/

[1] Ahlfors, Das Dirichletsche Prinzip (Math. Annalen, 120, p. 36). | MR 9,238e | Zbl 0030.38901

[2] N. Aronszajn et K. T. Smith, Functional spaces and functional completion (Report 10 (1954), about " Studies on eigenvalues problems ", written under Contract with the office of Naval Research, and improving the Report 7 of N. Aronszajn with the same title (1952). Kansas University, Lawrence, USA).

[3] Bochner, Dirichlet problem for domains bounded by spheres (Annals of Math. Studies, n°25, Princeton, 1950). | MR 12,258g | Zbl 0039.32302

[4] Brelot a) Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques (Annales Ecole Norm. Sup., 61, 1944, p. 301-332). | Numdam | MR 7,204g | Zbl 0061.22801

[4] Brelot b) Le problème de Dirichlet ramifié (Annales Univ. Grenoble, 22, 1946, p. 167-200). | Numdam | MR 8,581c | Zbl 0061.22902

[4] Brelot c) Étude des fonctions sousharmoniques au voisinage d'un point singulier (Annales Inst. Fourier, 1, 1949, p. 121-156). | Numdam | MR 12,258e | Zbl 0036.06901

[4] Brelot d) Principe et problème de Dirichlet dans les espaces de Green (C. R. Ac. Sc, 235, 1952, p. 598). | MR 16,35a | Zbl 0048.07804

[4] Brelot e) Lignes de Green et problème de Dirichlet (C. R., 235, 1952 p. 1595). | MR 16,35b | Zbl 0047.34402

[4] Brelot f) La théorie moderne du potentiel (Annales Inst. Fourier, 4, année 52, paru en 54, p. 113-140). | Numdam | MR 15,527a | Zbl 0055.08903

[4] Brelot g) Majorantes harmoniques et principe du maximum (Archiv. der Math., 5, 1954, p. 429-440). | MR 64924 | MR 16,356k | Zbl 0056.32504

[5] Brelot et Choquet, Espaces et lignes de Green (Annales Institut Fourier, 3, année 1951, paru fin 52, p. 119-263). | Numdam | MR 62883 | MR 16,34e | Zbl 0046.32701

[6] Calkin et Morrey, Functions of several variables and absolute continuity (Part. I by Calkin, part II by Morrey, Duke Math. J., 6, 1940, p. 170-215). | JFM 66.1224.03 | MR 1278 | MR 1,208e | Zbl 0026.39401 | Zbl 0026.39202

[7] Courant, Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces (Pure and applied math., 3, Interscience publishers, New York 1950). | MR 36317 | MR 12,90a | Zbl 0040.34603

[8] Deny, Les potentiels d'énergie finie (Acta math., 82, 1950 p. 107-183). | MR 36371 | MR 12,98e | Zbl 0034.36201

[9] Deny et Lions, Les espaces du type de Beppo Levi (Annales Inst. Fourier, 5, années 53-54 ce vol. p. 305-370). | Numdam | MR 74787 | MR 17,646a | Zbl 0065.09903

[10] Nikodym, a) Sur une classe de fonctions considérées dans l'étude du problème de Dirichlet (Fundamenta Math., 21, 1933, p. 129-150). | JFM 59.0290.01 | Zbl 0008.15903

[10] Nikodym, b) Sur un théorème de M. Zaremba concernant les fonctions harmoniques (J. de math., 12, 1933, p. 95-108). | JFM 59.0483.03 | Zbl 0006.16601

[10] Nikodym, c) Sur le principe du minimum (Mathematica, 9, 1935 p. 110-128). | JFM 61.1258.01 | Zbl 0013.30506

[11] Schauder, Potential theoretische Untersuchungen (Math. Zeitsch., 33, 1931, p. 602-640). | JFM 57.0572.01 | MR 1545229 | Zbl 0001.33602

[12] B. Von Sz. Nagy, Spektraldarstellungen linearer Transformationen des Hilbertschen Raumes (Ergebn. der Math., 5, 1942). | JFM 68.0241.01 | MR 18339 | Zbl 0027.22701

[13] Zaremba, Sur un problème toujours possible comprenant à titre de cas particuliers le problème de Dirichlet et celui de Neumann (J. math., 6, 1927, p. 127-163). | JFM 53.0459.02