Functional spaces and functional completion
Annales de l'Institut Fourier, Volume 6 (1956), pp. 125-185.

Dans le travail présent nous considérons des classes linéaires fonctionnelles dont les fonctions sont définies sur un ensemble de base à l’exception d’un ensemble A appartenant à une classe 𝔞 d’ensemble (A variant avec la fonction). Les notions d’une classe fonctionnelle normée et d’un espace fonctionnel sont introduites ensuite. Notre problème central est de trouver une complétion fonctionnelle ˜ d’une classe fonctionnelle normée (c’est-à-dire un espace fonctionnel complet ˜ dont soit un sous-espace dense). Le problème n’admet pas toujours de solution et même quand il en admet une, cette solution nécessite en général un élargissement de la classe exceptionnelle 𝔞. La construction d’une telle classe élargie 𝔞 ˜ forme la partie essentielle du problème. Pour une classe normée nous définissions des fonctions sous-additives c ϕ (B) d’un ensemble B (que nous appelons capacités ; les classes E B [c ϕ (B)=0] présentent des choix acceptables pour 𝔞 ˜. Nous donnons aussi des conditions suffisantes simples (propriétés de majoration) qui assurent l’existence d’une complétion parfaite, c’est-à-dire avec une classe 𝔞 ˜ minimale.

Les exemples du second chapitre servent à illustrer la signification et l’utilité des notions introduites dans le premier chapitre. Mentionnons l’exemple 3 où nos capacités servent à étendre le théorème de Fatou sous sa forme la plus précise aux fonctions harmoniques dans un domaine n-dimensionnel avec une frontière aux normales lipschitziennes (cette extension était connue même dans un cadre bien plus large mais sous une forme moins précise). Dans l’exemple 4 nous considérons les potentiels d’ordre α de M. Riesz. Nous montrons que dans ce cas notre capacité c 2 coïncide avec la capacité usuelle d’ordre α. En combinant nos résultats avec des résultats récents de G. Choquet, nous prouvons que les capacités – extérieure et intérieure – d’ordre α sont égales pour les ensembles analytiques (ce fait n’était connu que pour α2).

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Cited by Sources: