An Integral Digit Derivative Basis for Carlitz Prime Power Torsion Extensions

Maurischat, Andreas; Perkins, Rudolph

Publications mathématiques de Besançon. Algèbre et théorie des nombres, no. 1 (2019), pp. 131-149.

Nous développons le travail d’Anglès–Pellarin sur l’évaluation aux racines de l’unité de la fonction d’Anderson–Thakur et de ses hyperdérivées.

Soit $𝔭$ un polynôme irréductible unitaire dans $A={𝔽}_q\left[\theta \right],$ l’anneau des polynômes en l’indéterminée $\theta$ et à coefficients dans le corps fini ${𝔽}_q,$ soit $\zeta$ une racine de $𝔭$ dans une clôture algébrique de ${𝔽}_q,$ et soit $K={𝔽}_q\left(\theta \right).$ Pour chaque entier $n,$ soit ${\lambda }_n$ une générateur du $A$-module des points de ${𝔭}^n$-torsion du module de Carlitz. Nous donnons une base pour l’anneau des entiers $A[\zeta ,{\lambda }_n]\subset K(\zeta ,{\lambda }_n)$ sur $A\left[\zeta \right]\subset K\left(\zeta \right)$ qui consiste en les monômes des hyperdérivées de la fonction d’Anderson–Thakur $\omega$ évaluée aux racines de $𝔭,$ et qui, après un ordre convenable, fournit une représentation triangulaire supérieure, diagonale par bloc de l’action de Galois. Pour chaque $n\ge 2,$ nous donnons aussi un élément entier dont l’orbite galoisienne fournit une base normale du corp pour l’extension $K(\zeta ,{\lambda }_n)/K(\zeta ,{\lambda }_1)$.

We build on work of Anglès–Pellarin concerning evaluations of the Anderson–Thakur function and its hyperderivatives at roots of unity.

Let $𝔭$ be a monic irreducible polynomial in $A:={𝔽}_q\left[\theta \right]$, the ring of polynomials in the indeterminate $\theta$ over the finite field ${𝔽}_q$, let $\zeta$ be a root of $𝔭$ in an algebraic closure of ${𝔽}_q$, and let $K:={𝔽}_q\left(\theta \right)$. For each positive integer $n$, let ${\lambda }_n$ be a generator of the $A$-module of Carlitz ${𝔭}^n$-torsion. We give a basis for the ring of integers $A[\zeta ,{\lambda }_n]\subset K(\zeta ,{\lambda }_n)$ over $A\left[\zeta \right]\subset K\left(\zeta \right)$ which consists of monomials in the hyperderivatives of the Anderson–Thakur function $\omega$ evaluated at the roots of $𝔭$, and which, after suitable ordering, provides an upper triangular, block diagonal representation of the action of Galois. For each $n\ge 2$, we also give an explicit integral element whose Galois orbit provides a field normal basis for the extension $K(\zeta ,{\lambda }_n)/K(\zeta ,{\lambda }_1)$.

Classification : 11G09, 11R60, 11M38
Mots clés : Anderson–Thakur function, Carlitz module, Goss $L$-series

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