En 1977 H .G. Diamond donna une condition portant sur les nombres premiers généralisés de Beurling qui entraîne que les entiers correspondants aient une densité. Nous donnons une nouvelle preuve que cette condition est suffisante (Théorème 1.2) et nous montrons qu’elle n’est pas nécessaire (Théorème 2.1 et Exemples 2.2), mais qu’elle est néanmoins très près d’être nécessaire et suffisante (Théorème 3.1). Les preuves des Théorèmes 1.2 et 2.1 reposent sur l’analyse de Fourier.
In 1977 H .G. Diamond gave a condition on Beurling’s generalized prime numbers in order that the corresponding generalized integers have a density. We give a new proof of this condition (Théorème 1.2) and a proof that it is not necessary (Théorème 2.1 and Exemples 2.2). However, it is very near to be necessary (Théorème 3.1). Both proofs of Théorèmes 1.2 and 2.1 rely on Fourier analysis.
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Mots clés : Beurling, Diamond, generalized primes and integers, Tauberian theorems, Fourier methods in number theory
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Kahane, Jean-Pierre. Conditions pour que les entiers de Beurling aient une densité. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 29 (2017) no. 2, pp. 681-692. doi : 10.5802/jtnb.996. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.996/
[1] La version de Diamond de la méthode de l’hyperbole de Dirichlet, Enseign. Math., Volume 45 (1999) no. 3-4, pp. 253-270
[2] Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers généralisés, Acta Math., Volume 68 (1937), pp. 255-291 | DOI
[3] When do Beurling generalized integers have a density ?, J. Reine Angew. Math., Volume 295 (1977), pp. 22-39
[4] Séries de Fourier absolument convergentes, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiet, 50, Springer, 1970, viii+186 pages
[5] Some random series of functions, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 5, Cambridge University Press, 1985, xiii+305 pages
[6] Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d’une conjecture de Bateman et Diamond, J. Théor. Nombres Bordx, Volume 9 (1997) no. 2, pp. 251-266 | DOI
[7] Sur l’exemple d’Euler d’une fonction complètement multiplicative de somme nulle (2016) (https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01338806, à paraître dans Enseign. Math.)
[8] Tauberian Theorems, Annals of Math., Volume 33 (1932), pp. 1-100 | DOI
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