Groupes $p$-divisibles avec condition de Pappas-Rapoport et invariants de Hasse

Bijakowski, Stéphane; Hernandez, Valentin

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Volume 4 (2017), pp. 935-972.

We study $p$-divisible groups $G$ endowed with an action of the ring of integers of a finite (possibly ramified) extension of ${\mathbb{Q}}_p$ over a scheme of characteristic $p$. We suppose moreover that the $p$-divisible group $G$ satisfies the Pappas-Rapoport condition for a certain datum $\mu$; this condition consists in a filtration on the sheaf of differentials ${\omega }_G$ satisfying certain properties. Over a perfect field, we define the Hodge and Newton polygons for such $p$-divisible groups, normalized with the action. We show that the Newton polygon lies above the Hodge polygon, itself lying above a certain polygon depending on the datum $\mu$.

We then construct Hasse invariants for such $p$-divisible groups over an arbitrary base scheme of characteristic $p$. We prove that the total Hasse invariant is non-zero if and only if the $p$-divisible group is $\mu$-ordinary, i.e., if its Newton polygon is minimal. Finally, we study the properties of $\mu$-ordinary $p$-divisible groups.

The construction of the Hasse invariants can in particular be applied to special fibers of PEL Shimura varieties models as constructed by Pappas and Rapoport.

Nous étudions les groupes $p$-divisibles $G$ munis d’une action de l’anneau des entiers d’une extension finie (possiblement ramifiée) de ${\mathbb{Q}}_p$ sur un schéma de caractéristique $p$. Nous supposons de plus que le groupe $p$-divisible satisfait à la condition de Pappas-Rapoport pour une certaine donnée $\mu$ ; cette condition consiste en une filtration sur le faisceau des différentielles ${\omega }_G$ satisfaisant certaines propriétés. Sur un corps parfait, nous définissons les polygones de Hodge et de Newton pour de tels groupes $p$-divisibles, en tenant compte de l’action. Nous montrons que le polygone de Newton est au-dessus du polygone de Hodge, lui-même au-dessus d’un certain polygone dépendant de la donnée $\mu$.

Nous construisons ensuite des invariants de Hasse pour de tels groupes $p$-divisibles sur une base arbitraire de caractéristique $p$. Nous prouvons que l’invariant de Hasse total est non nul si et seulement si le groupe $p$-divisible est $\mu$-ordinaire, c’est-à-dire si son polygone de Newton est minimal. Enfin, nous étudions les propriétés des groupes $p$-divisibles $\mu$-ordinaires.

La construction des invariants de Hasse s’applique en particulier aux fibres spéciales des modèles des variétés de Shimura PEL construits par Pappas et Rapoport.

Classification: 14L05,  11G18,  11G25,  11G15
Keywords: $p$-divisible groups, $F$-crystal, Pappas-Rapoport datum, Hasse invariants, $\mu$-ordinary

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