Les invariants locaux d’une différentielle abélienne méromorphe sur une surface de Riemann de genre sont les ordres des zéros et des pôles, et les résidus aux pôles. Le résultat principal de cet article est qu’à quelques exceptions près, chaque configuration d’ordres et de résidus peut être obtenue par une différentielle abélienne. Ces exceptions sont deux familles en genre où les ordres des pôles sont soit tous simples, soit tous non simples. De plus, nous montrons que chaque configuration de résidus peut être réalisée dans chaque composante connexe des strates. Enfin, nous donnons les conséquences de ces résultats en géométrie algébrique et plate. L’ingrédient principal de la preuve est la représentation plate des différentielles abéliennes.
The local invariants of a meromorphic Abelian differential on a Riemann surface of genus are the orders of zeros and poles, and the residues at the poles. The main result of this paper is that with few exceptions, every pattern of orders and residues can be obtain by an Abelian differential. These exceptions are two families in genus zero when the orders of the poles are either all simple or all nonsimple. Moreover, we even show that the pattern can be realized in each connected component of the strata. Finally we give consequences of these results in algebraic and flat geometry. The main ingredient of the proof is the flat representation of the Abelian differentials.
Accepté le :
Publié le :
Mot clés : Différentielles abéliennes, surfaces plates, strates, résidu
Keywords: Abelian differential, flat surface, strata, residue
@article{JEP_2021__8__1397_0,
author = {Gendron, Quentin and Tahar, Guillaume},
title = {Diff\'erentielles ab\'eliennes \`a~singularit\'es~prescrites},
journal = {Journal de l{\textquoteright}\'Ecole polytechnique {\textemdash} Math\'ematiques},
pages = {1397--1428},
publisher = {Ecole polytechnique},
volume = {8},
year = {2021},
doi = {10.5802/jep.174},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/jep.174/}
}
TY - JOUR AU - Gendron, Quentin AU - Tahar, Guillaume TI - Différentielles abéliennes à singularités prescrites JO - Journal de l’École polytechnique — Mathématiques PY - 2021 SP - 1397 EP - 1428 VL - 8 PB - Ecole polytechnique UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/jep.174/ DO - 10.5802/jep.174 LA - fr ID - JEP_2021__8__1397_0 ER -
%0 Journal Article %A Gendron, Quentin %A Tahar, Guillaume %T Différentielles abéliennes à singularités prescrites %J Journal de l’École polytechnique — Mathématiques %D 2021 %P 1397-1428 %V 8 %I Ecole polytechnique %U http://www.numdam.org/articles/10.5802/jep.174/ %R 10.5802/jep.174 %G fr %F JEP_2021__8__1397_0
Gendron, Quentin; Tahar, Guillaume. Différentielles abéliennes à singularités prescrites. Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 8 (2021), pp. 1397-1428. doi : 10.5802/jep.174. http://www.numdam.org/articles/10.5802/jep.174/
[BCG + 18] Compactification of strata of abelian differentials, Duke Math. J., Volume 167 (2018) no. 12, pp. 2347-2416 | DOI | MR | Zbl
[BCG + 19] Strata of -differentials, Algebraic Geom., Volume 6 (2019) no. 2, pp. 196-233 | DOI | MR | Zbl
[Boi15] Connected components of the strata of the moduli space of meromorphic differentials, Comment. Math. Helv., Volume 90 (2015) no. 2, pp. 255-286 | DOI | MR | Zbl
[dSG10] Uniformisation des surfaces de Riemann, ENS Éditions, Lyon, 2010 | MR | Zbl
[EH87] Existence, decomposition, and limits of certain Weierstrass points, Invent. Math., Volume 87 (1987), pp. 495-515 | DOI | MR | Zbl
[EM02] Limit canonical systems on curves with two components, Invent. Math., Volume 149 (2002) no. 2, pp. 267-338 | DOI | MR | Zbl
[Ere20] Co-axial monodromy, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (5), Volume 20 (2020) no. 2, pp. 619-634 | DOI | MR | Zbl
[Gen21] Sur les nœuds de Weierstraß, Ann. H. Lebesgue, Volume 4 (2021), pp. 571-589 | DOI
[GT17] Différentielles à singularités prescrites, 2017 | arXiv
[GT21a] Différentielles quadratiques à singularités prescrites, 2021 (en préparation)
[GT21b] -différentielles à singularités prescrites, 2021 (en préparation)
[KZ03] Connected components of the moduli spaces of Abelian differentials with prescribed singularities, Invent. Math., Volume 153 (2003) no. 3, pp. 631-678 | DOI | MR | Zbl
[MS93] Quadratic differentials with prescribed singularities and pseudo-Anosov diffeomorphisms, Comment. Math. Helv., Volume 68 (1993) no. 2, pp. 289-307 | DOI | MR | Zbl
[Mul21] Strata of differentials of the second kind, positivity and irreducibility of certain Hurwitz spaces, 2021 | arXiv
[MUW21] Realizability of tropical canonical divisors, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), Volume 23 (2021) no. 1, pp. 185-217 | DOI | MR | Zbl
[Nav08] Tight upper bounds on the number of invariant components on translation surfaces, Israel J. Math., Volume 165 (2008) no. 1, pp. 211-231 | DOI | MR | Zbl
[Rey89] Quelques aspects des surfaces de Riemann, Progress in Math., 77, Birkhäuser, 1989 | MR | Zbl
[Tah18] Counting saddle connections in flat surfaces with poles of higher order, Geom. Dedicata, Volume 196 (2018) no. 1, pp. 145-186 | DOI | MR | Zbl
Cité par Sources :
