Sur un problème à frontière libre de la physique des plasmas

Gourgeon, H.; Mossino, Jacqueline

Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 4, pp. 127-141.

In this paper we are concerned with the mathematical study of an equation of the Grad-Mercier type which describes the equilibrium of a confined plasma, under some circumstances [H. Grad, P.N. Hu et D.C. Stevens, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 72,n${}^{\circ }$10 (1975), 3789–3793, C. Mercier, Publication of Euratom, CEA, Luxembourg (1974), C. Mercier, Communications personnelles à R. Temam et aux auteurs]. The free boundary value-problem which we consider can be formulated as follows: to find a “regular" function $u$ satisfying

$$\left\{\begin{array}{cc}-\Delta u+\lambda g\left[\delta \right(u\left)\right]=0\hfill & \text{dans}\Omega ,\hfill \\ u=\text{(unknown)}\text{constant}>0\hfill & \text{on}\partial \Omega ,\hfill \\ {\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial u}{\partial n}=I,\hfill \end{array}\right.$$

where $\Omega$ is a bounded regular open set of ${\mathbf{R}}^n$, and

$$\delta \left(u\right)\left(x\right)=\mathrm{mes}\{y\in \Omega \mid u(x)<u(y)<0\}.$$

We note that the nonlinear operator $\delta$ is neither monotone, nor local (nor even continuous). The existence, or non existence, of solutions is proved according to the values of the parameter $\lambda$. Similar problems were studied in [J. Mossino, Journal of Differential Equations], nevertheless the present problem requires new arguments in order to overcome the difficulties due to the partial coerciveness of the operator. In the crucial step here, we use a technique of symmetrization.

Ce papier porte sur l’étude mathématique d’une équation du type de Grad-Mercier qui décrit, dans certaines circonstances, l’équilibre d’un plasma confiné [H. Grad, P.N. Hu et D.C. Stevens, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 72,n${}^{\circ }$10 (1975), 3789–3793, C. Mercier, Publication of Euratom, CEA, Luxembourg (1974), C. Mercier, Communications personnelles à R. Temam et aux auteurs]. Il s’agit de trouver une fonction “régulière” $u$ solution du système

$$\left\{\begin{array}{cc}-\Delta u+\lambda g\left[\delta \right(u\left)\right]=0\hfill & \text{dans}\Omega ,\hfill \\ u=\text{constante}\text{(inconnue)}>0\hfill & \text{sur}\partial \Omega ,\hfill \\ {\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial u}{\partial n}=I,\hfill \end{array}\right.$$

où $\Omega$ est un ouvert borné régulier de ${\mathbf{R}}^n$, et

$$\delta \left(u\right)\left(x\right)=\mathrm{mes}\{y\in \Omega \mid u(x)<u(y)<0\}.$$

L’opérateur non linéaire $\delta$ n’est ni monotone, ni local (ni même continu). Nous montrons l’existence, ou la non-existence, de solutions, selon les valeurs du paramètre $\lambda$. Cet article utilise des résultats antérieurs de l’un des auteurs [J. Mossino, Journal of Differential Equations] et il nécessite néanmoins de nouveaux arguments permettant de contourner la difficulté liée au manque de coercivité de l’opérateur. Une technique de symétrisation intervient ici de façon essentielle.

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