A semigroup in , a Banach space, is called mean ergodic, if its closed convex hull in has a zero element. Compact groups, compact abelian semigroups or contractive semigroups on Hilbert spaces are mean ergodic.
Banach lattices prove to be a natural frame for further mean ergodic theorems: let be a bounded semigroup of positive operators on a Banach lattice with order continuous norm. is mean ergodic if there is a -subinvariant quasi-interior point of and a -subinvariant strictly positive linear form in
Un demi-groupe contenu dans , espace de Banach, est dit ergodique en moyenne quand son enveloppe convexe fermée dans possède un zéro. Les groupes compacts, les demi-groupes compacts commutatifs ou les demi-groupes contractifs sur les espaces de Hilbert sont ergodiques en moyenne.
En particulier, les espaces de Banach réticulés fournissent un cadre naturel pour d’autres théorèmes ergodiques en moyenne. Soit un demi-groupe borné d’opérateurs positifs sur un espace de Banach réticulé possédant une norme continue pour l’ordre. Alors est ergodique en moyenne quand il y a un point quasi-intérieur de sous-invariant pour et une forme linéaire strictement positive sur sous-invariante pour .
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Nagel, Rainer J. Mittelergodische Halbgruppen linearer Operatoren. Annales de l'Institut Fourier, Volume 23 (1973) no. 4, pp. 75-87. doi : 10.5802/aif.483. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.483/
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