Familles résolvantes, générateurs, co-générateurs, potentiels
Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 1, pp. 89-210.

This is a study, on Banach spaces, of resolvent families (i.e. pseudo-resolvents) (R λ ) λ>0 and of the “generators” that can be associated to them when λ tends to zero or to infinity. When the family is a contraction family these “generators” satisfy abstract versions of the “maximum principles” used in Potential theory. The important notion introduced here is the notion of “codissipativity” (linked to the dissipativity introduced by G. Lumer and E.S. Phillips).

From this study, the fundamental Hunt-Lion theorem (which characterizes, through submarkovian resolvent families, the positive operators on a space 𝒞 0 , whose domains contain the space of functions with compact support, and that satisfy the complete maximum principle) is extended to the cases of non positivity and of partial positivity.

Then, in the framework of convolution, other principles are studied, that are weaker but more concrete than codissipativity.

Finally, some results are given on the Operational calculus of “abstracts potentials”.

Nous étudions, dans les espaces de Banach, les familles résolvantes (ou pseudo-résolvantes) (R λ ) λ>0 et les “générateurs” qu’on peut leur associer quand λ tend vers zéro ou quand λ tend vers l’infini. Lorsque la famille résolvante est à contraction, ces “générateurs” qu’on peut leur associer quand λ tend vers zéro ou quand λ tend vers l’infini. Lorsque la famille résolvante est à contraction, ces “générateurs” vérifient des “principes du maximum” qui sont des versions “abstraites” de principes du maximum rencontrés en théorie du potentiel. La notion importante introduite est la notion de codissipativité (liée à la notion de dissipativité déjà introduite par G. Lumer et R.S. Phillips).

Cette étude nous permet d’étendre le théorème fondamental de Hunt-Lion (ce théorème caractérise, au moyen des familles résolvantes sous-markoviennes, les opéra-teurs positifs sur un espace 𝒞 0 , de domaine contenant les fonctions continues à support compact et vérifiant le principe complet du maximum) à des cas de non positivité partielle.

Nous étudions ensuite, dans le cadre de la convolution, des “principes” plus faibles, mais plus concrets, que la codissipativité.

Enfin, nous donnons certains résultats concernant un calcul symbolique sur les “potentiels abstraits”.

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Cited by Sources: