Fibre de Milnor motivique à l’infini et composition avec un polynôme non dégénéré
Annales de l'Institut Fourier, Tome 62 (2012) no. 5, pp. 1943-1981.

Soit k un corps de caractéristique nulle, P un polynôme de Laurent en d variables, à coefficients dans k et non dégénéré pour son polyèdre de Newton à l’infini. Soit d fonctions non constantes f l à variables séparées et définies sur des variétés lisses. A la manière de Guibert, Loeser et Merle, dans le cas local, nous calculons dans cet article, la fibre de Milnor motivique à l’infini de la composée P(f) en termes du polyèdre de Newton à l’infini de P. Pour P égal à la somme x 1 +x 2 nous obtenons une formule du type Thom-Sébastiani. Ceci permet d’introduire une notion de cycles évanescents motiviques d’une fonction g pour la valeur infini notée S g,,U Φ , qui vérifie comme dans le cas local une formule de convolution. En particulier si g est le polynôme x 1 +...+x n +1/x 1 ...x n , nous montrons que le spectre de S g,,U Φ vaut 1+t+..+t n ce qui coïncide avec le spectre à l’infini de g considéré par Douai et Sabbah.

Let k be a field of characteristic zero and P be a Laurent polynomial in d variables, with coefficients in k and non degenerate for its Newton polyhedron at infinity. Let (f l ) be d non constant functions with separated variables and defined on smooth varieties. As Guibert, Loeser and Merle in the local case, we compute in this article the motivic Milnor fiber at infinity of P(f) in terms of the Newton polyhedron at infinity of P. For P equal to the sum x 1 +x 2 , we obtained a Thom-Sebastiani formula. Then we can introduce a notion of motivic vanishing cycles of a function g for the infinite value denoted by S g,U Φ , and which verified, as in the local case, a convolution formula. In particular if g is the polynomial x 1 +...+x n +1/x 1 ...x n , we show that the spectrum S g,,U Φ is 1+t+..+t n which coincides with the spectrum at infinity of g considered by Douai and Sabbah.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2739
Classification : 14-99,  14J17,  14B05
Mots clés : Géométrie Algébrique, Singularités à l’infini, Fibre de Milnor, Intégration motivique, Fibre de Milnor motivique, Thom-Sébastiani, Cycles proches.
@article{AIF_2012__62_5_1943_0,
     author = {Raibaut, Michel},
     title = {Fibre de {Milnor} motivique \`a l{\textquoteright}infini et composition avec un polyn\^ome non d\'eg\'en\'er\'e},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1943--1981},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {62},
     number = {5},
     year = {2012},
     doi = {10.5802/aif.2739},
     mrnumber = {3025157},
     zbl = {1266.14008},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2739/}
}
TY  - JOUR
AU  - Raibaut, Michel
TI  - Fibre de Milnor motivique à l’infini et composition avec un polynôme non dégénéré
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2012
DA  - 2012///
SP  - 1943
EP  - 1981
VL  - 62
IS  - 5
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2739/
UR  - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3025157
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A1266.14008
UR  - https://doi.org/10.5802/aif.2739
DO  - 10.5802/aif.2739
LA  - fr
ID  - AIF_2012__62_5_1943_0
ER  - 
Raibaut, Michel. Fibre de Milnor motivique à l’infini et composition avec un polynôme non dégénéré. Annales de l'Institut Fourier, Tome 62 (2012) no. 5, pp. 1943-1981. doi : 10.5802/aif.2739. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2739/

[1] Bittner, Franziska On motivic zeta functions and the motivic nearby fiber, Math. Z., Volume 249 (2005) no. 1, pp. 63-83 | Article | MR 2106970 | Zbl 1085.14020

[2] Deligne, Pierre Théorie de Hodge. III, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1974) no. 44, pp. 5-77 | Numdam | MR 498552 | Zbl 0237.14003

[3] Denef, Jan; Loeser, François Germs of arcs on singular algebraic varieties and motivic integration, Invent. Math., Volume 135 (1999) no. 1, pp. 201-232 | Article | MR 1664700 | Zbl 0928.14004

[4] Denef, Jan; Loeser, François Geometry on arc spaces of algebraic varieties, European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000) (Progr. Math.), Volume 201, Birkhäuser, Basel, 2001, pp. 327-348 | MR 1905328 | Zbl 1079.14003

[5] Douai, A.; Sabbah, C. Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures. I, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 53 (2003) no. 4, pp. 1055-1116 | Article | Numdam | MR 2033510 | Zbl 1079.32016

[6] Douai, Antoine; Sabbah, Claude Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures. II (2004), pp. 1-18

[7] Fulton, William Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 2, Springer-Verlag, Berlin, 1998 | MR 1644323 | Zbl 0541.14005

[8] Guibert, Gil Espaces d’arcs et invariants d’Alexander, Comment. Math. Helv., Volume 77 (2002) no. 4, pp. 783-820 | Article | MR 1949114 | Zbl 1046.14008

[9] Guibert, Gil; Loeser, François; Merle, Michel Nearby cycles and composition with a nondegenerate polynomial, Int. Math. Res. Not. (2005) no. 31, pp. 1873-1888 | Article | MR 2171196 | Zbl 1093.14032

[10] Guibert, Gil; Loeser, François; Merle, Michel Iterated vanishing cycles, convolution, and a motivic analogue of a conjecture of Steenbrink, Duke Math. J., Volume 132 (2006) no. 3, pp. 409-457 | Article | MR 2219263 | Zbl 1173.14301

[11] Hironaka, Heisuke Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II, Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109–203 ; ibid. (2), Volume 79 (1964), pp. 205-326 | Article | MR 199184 | Zbl 0122.38603

[12] Kouchnirenko, A. G. Polyèdres de Newton et nombres de Milnor, Invent. Math., Volume 32 (1976) no. 1, pp. 1-31 | Article | MR 419433 | Zbl 0328.32007

[13] Loeser, François Seattle lectures on motivic integration, Algebraic geometry—Seattle 2005. Part 2 (Proc. Sympos. Pure Math.), Volume 80, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, pp. 745-784 | MR 2483954 | Zbl 1181.14017

[14] Looijenga, Eduard Motivic measures, Astérisque (2002) no. 276, pp. 267-297 (Séminaire Bourbaki, Vol. 1999/2000) | Numdam | MR 1886763 | Zbl 0996.14011

[15] Matsui, Yutaka; Takeuchi, Kiyoshi Monodromy at infinity of polynomial map and mixed Hodge modules, arXiv :0912.5144v5

[16] Matsui, Yutaka; Takeuchi, Kiyoshi Monodromy zeta functions at infinity, Newton polyhedra and constructible sheaves, Math. Z., Volume 268 (2011) no. 1-2, pp. 409-439 | Article | MR 2805442

[17] Pham, Frédéric Vanishing homologies and the n variable saddlepoint method, Singularities, Part 2 (Arcata, Calif., 1981) (Proc. Sympos. Pure Math.), Volume 40, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983, pp. 319-333 | MR 713258 | Zbl 0519.49026

[18] Raibaut, Michel Fibre de Milnor motivique à l’infini, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 348 (2010) no. 7-8, pp. 419-422 | Article | MR 2607031 | Zbl 1195.14028

[19] Raibaut, Michel Singularités à l’infini et intégration motivique, Thèse, Université Nice Sophia Antipolis (2010)

[20] Raibaut, Michel Singularités à l’infini et intégration motivique, Bull. Soc. Math. France, Volume 140 (2012) no. 1, pp. 51-100 | Numdam | MR 2903771

[21] Sabbah, Claude Monodromy at infinity and Fourier transform, Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 33 (1997) no. 4, pp. 643-685 | Article | MR 1489993 | Zbl 0920.14003

[22] Saito, Morihiko Mixed Hodge modules, Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 26 (1990) no. 2, pp. 221-333 | Article | MR 1047415 | Zbl 0727.14004

[23] Steenbrink, Joseph; Zucker, Steven Variation of mixed Hodge structure. I, Invent. Math., Volume 80 (1985) no. 3, pp. 489-542 | Article | MR 791673 | Zbl 0626.14007

Cité par Sources :