The aim of this article is to propose a new method for the study of some questions related to the action of the absolute Galois group on the set of plane trees, in the context of the Grotendieck theory of “Dessins d’enfants”. Starting with a plane tree with edges, we construct a hyperelliptic curve with an -division point. This enables us to establish a relation between the theory of “Dessins d’enfants” and the theory of torsion on hyperelliptic curves. In particular, using the results on torsion on elliptic curves we obtain the lower bounds on the degrees of the fields of moduli of some trees. On the other hand, we obtain the interesting series of examples of torsion on hyperelliptic curves.
Le but de cet article est de proposer une nouvelle méthode pour des études dans le cadre de la théorie des “dessins d’enfants” de A. Grothendieck de certaines questions concernant l’action du groupe de Galois absolu sur l’ensemble des arbres planaires.
On définit l’application qui associe à chaque arbre planaire à arêtes, une courbe hyperelliptique avec un point de -division. Cette construction permet d’établir un lien entre la théorie de la torsion des courbes hyperelliptiques et celle des “dessins d’enfants”. En particulier, en utilisant les résultats correspondants sur la torsion des courbes elliptiques, on obtient des bornes inférieures sur les degrés des corps des modules des arbres de certaines classes. D’autre part, la construction ci-dessus donne une suite intéressante d’exemples de diviseurs rationnels de torsion sur des courbes hyperelliptiques définies sur des corps de nombres.
@article{AIF_1998__48_2_323_0, author = {Pakovitch, Fedor}, title = {Combinatoire des arbres planaires et arithm\'etique des courbes hyperelliptiques}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {323--351}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {48}, number = {2}, year = {1998}, doi = {10.5802/aif.1620}, mrnumber = {99h:11055}, zbl = {0911.14013}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1620/} }
TY - JOUR AU - Pakovitch, Fedor TI - Combinatoire des arbres planaires et arithmétique des courbes hyperelliptiques JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1998 SP - 323 EP - 351 VL - 48 IS - 2 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1620/ DO - 10.5802/aif.1620 LA - fr ID - AIF_1998__48_2_323_0 ER -
%0 Journal Article %A Pakovitch, Fedor %T Combinatoire des arbres planaires et arithmétique des courbes hyperelliptiques %J Annales de l'Institut Fourier %D 1998 %P 323-351 %V 48 %N 2 %I Association des Annales de l’institut Fourier %U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1620/ %R 10.5802/aif.1620 %G fr %F AIF_1998__48_2_323_0
Pakovitch, Fedor. Combinatoire des arbres planaires et arithmétique des courbes hyperelliptiques. Annales de l'Institut Fourier, Volume 48 (1998) no. 2, pp. 323-351. doi : 10.5802/aif.1620. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1620/
[Ab] Uber die Integration der Differential-Formel ρdx/√R wenn ρ und R ganze Functionen sind, J. Reine Angew. Math., 1 (1826), 185-221. | Zbl
,[Ak] Elements of the Theory of Elliptic Functions, AMS Translations of mathematical monographs, 79 (1990). | MR | Zbl
,[AdSh] Planar dessins with one face and polynomials with two critical values, Preprint, 1990 (en russe).
, ,[AKSS] Mathieu groupes and plane trees, Fundamentalnaiya i prikladnaya matematika, 1 (1995), 377-384 (en russe). | Zbl
, , and ,[AdZv] Composition of plane trees, soumis à Acta Applicandae Mathematicae. | Zbl
, ,[AR] Multiples of points on elliptic curves and continued fractions, Proc. London Math. Soc., 41 (1980), 481-498. | MR | Zbl
, ,[Be] On Galois extension of a maximal cylotomic field, Math. USSR Izvestija, 14, 2 (1980), 247-256. | Zbl
,[Ber] On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields, Arch. Math., 55 (1990), 259-266. | MR | Zbl
,[BPZ] Plane trees and their Shabat polynomials (Catalog), Rapport interne de LaBRI, n° 92-75, Bordeaux, 1992.
, , ,[Ch] Sur l'intégration de la différentielle (x+A)/√x4+ϑx3+βx2+γdx, Bull. Acad. Impériale de Saint-Pétersbourg, 3 (1861), 1-12. (Réédité dans Journal des Math. Pures et Appl., 2, 9 (1864), 225-246).
,[Couv] Calcul et rationalité des fonctions de Belyi en genre 0, Ann. Inst. Fourier, 44-1 (1994), 1-38. | Numdam | MR | Zbl
,[Gr] Esquisse d'un programme, non publié, 1984.
,[Fl1] Sequences of rational torsion on abelian varieties, Inventiones Math., 106 (1991), 433-442. | MR | Zbl
,[Fl2] The arithmetic of hyperelliptic curves, in Algorithms in Algebraic Geometry and applications, Birkhauser, Progress in Mathematics, 143 (1996), 165-175. | MR | Zbl
,[GH] Principles of Algebraic Geometry, New York, John Wiley and Sons, 1978. | MR | Zbl
, ,[Hal] Traité des fonctions elliptiques et leurs applications, Paris, 1886-1891. | JFM
,[HL] Équation de Pell et points d'ordre fini, in Analitic and Elementary Number Theory, Marseille, Publ. Math. Orsay, 86-1, 1983. | MR | Zbl
, ,[HBJ] Manifolds and modular forms, Bonn, Vieweg, 1992. | MR | Zbl
, , ,[Jun] Zolotarev-Polynome und die Modulkurve X1(N), Diplomarbeit, Bonn, 1989.
,[La] Introduction to modular forms, Springer-Verlag, 1976.
,[Le1] Famille de courbes hyperelliptique de genre g munies d'une classe de diviseurs rationnels d'ordre 2g2 + 4g + 1, in Séminaire de théorie des nombres, Paris, France, 1991-1992, Birkhauser, Progress in Mathematics, 116 (1994), 107-119. | MR | Zbl
,[Le2] Torsion sur des familles de courbes de genre g, Manuscripta Math., 75 (1992), 303-326. | MR | Zbl
,[Mag] Communication personnelle.
,[Maz] Rational points of modular curves, in Modular Functions of One Variable V, Lecture Notes in Math., Springer, 601 (1977), 107-148. | MR | Zbl
,[Mer] Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres, Invent. Math., 124 (1996), 437-449. | MR | Zbl
,[MM] Hill and Toda Curves, Communication on Pure and Applied Mathematics, XXXIII (1980), 23-42. | MR | Zbl
, ,[P1] Les polynômes elliptiques, Uspechi Mat. Nauk, 58, 8 (1995), 312-314 (en russe).
,[Pay] Périodicité des fractions continues dans un corps de fonctions hyperelliptiques, Arch. Math., 61 (1993), 45-58. | MR | Zbl
,[R] Prime and composite polynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 23 (1922), 51-66. | JFM
,[Schn] Dessins d'Enfants on the Riemann Sphere, in The Grothendieck Theory of Dessins d'Enfants, L. Shneps eds., Cambridge University Press London Mathematical Society Lecture Notes series, 200 (1994), 47-77. | MR | Zbl
,[ShZv] Plane trees and algebraic numbers, in Jerusalem Combinatorics 93, H. Barcelo, G. Kalai eds., AMS Contemporary Mathematics series, 178 (1994), 233-275. | MR | Zbl
, ,[ShVo] Drawing curves over number fields, in The Grothendieck FestShrift, Birkhäuser, 3 (1990), 199-227. | MR | Zbl
, ,[Shin] On some problems in the arithmetical theory of continued fraction II, Acta Arith., 7 (1962), 287-298. | Zbl
,[TaMo] Eléments de la théorie des fonctions elliptiques, 3, Paris, 1898.
, ,[Zap] Dessins d'enfants en genre 1, à paraître. | Zbl
,[Zol] Sur la méthode d'intégration de M. Tchebicheff, J. Math. Pures et Appl., 2, 19 (1874), 161-188. | JFM
,Cited by Sources: