The type and the Green's kernel of an open Riemann surface
Annales de l'Institut Fourier, Volume 10 (1960), pp. 285-296.

On donne dans cet article une nouvelle approche pour déterminer le type et construire la fonction de Green d’une surface de Riemann ouverte.

Soit Ω une surface de Riemann ouverte et D i (i=0,1,2) l’espace des courants de degré i. H 0 désignera l’espace pré-hilbertien des fonctions C à supports compacts muni du produit scalaire de Dirichlet. D’abord on dit qu’une surface de Riemann ouverte est de type hyperbolique si l’injection H 0 D 0 est continue. Dans ce cas on démontre que le complété H de H 0 est un espace de courants et que l’opérateur d*d applique H isomorphiquement sur son dual H . Soit G l’isomorphisme inverse. Le noyau de G, au sens de L. Schwartz, est appelé le noyau de Green de la surface de Riemann hyperbolique. On démontre qu’une surface de Riemann est de type hyperbolique (au sens de la définition ci-dessus) si et seulement si elle possède une fonction de Green au sens classique ; dans ce cas, le noyau de Green est identique, à un facteur constant près, à la fonction de Green au sens classique.

Comme conséquence immédiate de la définition du type, on déduit l’invariance du type vis-à-vis des applications quasi-conformes .

@article{AIF_1960__10__285_0,
     author = {Narasimhan, M. S.},
     title = {The type and the {Green's} kernel of an open {Riemann} surface},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {285--296},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {10},
     year = {1960},
     doi = {10.5802/aif.101},
     mrnumber = {23 #A312},
     zbl = {0096.06001},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.101/}
}
TY  - JOUR
AU  - Narasimhan, M. S.
TI  - The type and the Green's kernel of an open Riemann surface
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1960
SP  - 285
EP  - 296
VL  - 10
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.101/
DO  - 10.5802/aif.101
LA  - en
ID  - AIF_1960__10__285_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Narasimhan, M. S.
%T The type and the Green's kernel of an open Riemann surface
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1960
%P 285-296
%V 10
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.101/
%R 10.5802/aif.101
%G en
%F AIF_1960__10__285_0
Narasimhan, M. S. The type and the Green's kernel of an open Riemann surface. Annales de l'Institut Fourier, Volume 10 (1960), pp. 285-296. doi : 10.5802/aif.101. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.101/

[1] R. Courant and D. Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik II, Berlin, 1937. | JFM | Zbl

[2] J. Deny and J. L. Lions, Les espaces de type de Beppo-Levi, Annales de l'Institut Fourier, 5, (1953-1954), pp. 305-370. | Numdam | MR | Zbl

[3] Mme J. Lelong-Ferrand, Représentation conforme et tronsformations à intégrale de Dirichlet bornée, Paris, 1955. | Zbl

[4] J. L. Lions, Lectures on elliptic partial differential equations, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1957.

[5] J. L. Lions, Problèmes aux limites en théorie des distributions, Acta. Math. 94, (1955), pp. 13-153. | MR | Zbl

[6] B. Malgrange, Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution, Annales de l'Institut Fourier, VI (1955-1956), pp. 221-354. | Numdam | Zbl

[7] R. Nevanlinna, Uniformisierung, Berlin, 1953. | MR | Zbl

[8] A. Pfluger, Theorie der Riemannschen Flächen, Berlin, 1957. | Zbl

[9] A. Pfluger, Sur une propriété de l'application quasi-conforme d'une surface de Riemann ouverte, C.R. Acad. Sci (Paris), 227 (1948), 25-26. | MR | Zbl

[10] G. De Rham, Variétés différentiables, Paris, 1955. | Zbl

[11] L. Schwartz, Théorie des distributions I, Paris, 1957. | Zbl

[12] H. Weyl, The method of orthogonal projection in potential theory, Duke Math. J., 7 (1940), 411-444. | JFM | MR | Zbl

Cited by Sources: