A Dolbeault Lemma for Temperate Currents
Annales Henri Lebesgue, Volume 4 (2021), pp. 879-896.

We consider a bounded open Stein subset Ω of a complex Stein manifold X of dimension n. We prove that if f is a current on X of bidegree (p,q+1), ¯-closed on Ω, we can find a current u on X of bidegree (p,q) which is a solution of the equation ¯u=f in Ω. In other words, we prove that the Dolbeault complex of temperate currents on Ω (i.e. currents on Ω which extend to currents on X) is concentrated in degree 0. Moreover if f is a current on X= n of order k, then we can find a solution u which is a current on n of order k+2n+1.

On considère un ouvert de Stein borné Ω d’une variété de Stein X de dimension complexe n. Nous montrons que si f est un courant sur X de bidegré (p,q+1), ¯-fermé sur Ω, il existe un courant u sur X de bidegré (p,q), solution sur Ω de l’équation ¯u=f. En d’autres termes, nous prouvons que le complexe de Dolbeault des courants tempérés sur Ω (i.e. les courants sur Ω qui se prolongent en courants sur X) est concentré en degré 0. De plus si f est un courant sur X= n d’ordre k, nous montrons qu’il existe une solution u qui est un courant sur n d’ordre k+2n+1.

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DOI: 10.5802/ahl.92
Classification: 31B05, 31B10, 31C10, 32A10, 32C35, 32E10, 32Q15, 32Q28, 32U40, 32W05, 58A25
Keywords: Stein open subset of $\mathbb{C}^n$ or of a Stein manifold, $L^2$ estimates, $\bar{\partial }$-operator, Dolbeault $\bar{\partial }$-complex, temperate distributions and currents, temperate cohomology, Sobolev spaces
Skoda, Henri 1

1 Sorbonne University, IMJ-PRG Campus Pierre et Marie Curie, 4 Place Jussieu, 75005 Paris (France)
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