A Dolbeault Lemma for Temperate Currents

Skoda, Henri

Annales Henri Lebesgue, Volume 4 (2021), pp. 879-896.

We consider a bounded open Stein subset $\Omega$ of a complex Stein manifold $X$ of dimension $n$. We prove that if $f$ is a current on $X$ of bidegree $(p,q+1)$, $\overline{\partial }$-closed on $\Omega$, we can find a current $u$ on $X$ of bidegree $(p,q)$ which is a solution of the equation $\overline{\partial }u=f$ in $\Omega$. In other words, we prove that the Dolbeault complex of temperate currents on $\Omega$ (i.e. currents on $\Omega$ which extend to currents on $X$) is concentrated in degree $0$. Moreover if $f$ is a current on $X={ℂ}^n$ of order $k$, then we can find a solution $u$ which is a current on ${ℂ}^n$ of order $k+2n+1$.

On considère un ouvert de Stein borné $\Omega$ d’une variété de Stein $X$ de dimension complexe $n$. Nous montrons que si $f$ est un courant sur $X$ de bidegré $(p,q+1)$, $\overline{\partial }$-fermé sur $\Omega$, il existe un courant $u$ sur $X$ de bidegré $(p,q)$, solution sur $\Omega$ de l’équation $\overline{\partial }u=f$. En d’autres termes, nous prouvons que le complexe de Dolbeault des courants tempérés sur $\Omega$ (i.e. les courants sur $\Omega$ qui se prolongent en courants sur $X$) est concentré en degré $0$. De plus si $f$ est un courant sur $X={ℂ}^n$ d’ordre $k$, nous montrons qu’il existe une solution $u$ qui est un courant sur ${ℂ}^n$ d’ordre $k+2n+1$.

Classification: 31B05, 31B10, 31C10, 32A10, 32C35, 32E10, 32Q15, 32Q28, 32U40, 32W05, 58A25
Mots-clés : Stein open subset of $\mathbb{C}^n$ or of a Stein manifold, $L^2$ estimates, $\bar{\partial }$-operator, Dolbeault $\bar{\partial }$-complex, temperate distributions and currents, temperate cohomology, Sobolev spaces

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