Sur le système de Nernst-Planck-Poisson-Boltzmann résultant de l’homogénéisation par convergence à double échelle
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Volume 23 (2014) no. 1, pp. 1-24.

The Nernst-Planck-Poisson-Boltzmann system is used to describe the evolution of ionic concentrations and electrocapillarity effects in porous media. The nonlinear Poisson-Boltzmann equation defines the electric potential and the electrical double layer coupling the equations for the evolution charge distributions. Our main focus is to study such nonstationary model problems in periodic microstructures when important phenomena occur on the boundaries of the pores (transfer of chloride ions in cementitious materials and resulting damages by corrosion, e.g.). We apply a powerful homogenization technique (two-scale convergence) in order to obtain an efficient modelling at a macroscopic scale. The well-posedness of the homogenized system is proved and some qualitative properties of the global solution are shown to be satisfied (energy law, entropy law in the weak sense of Liapounov functions, stationary states).

Le système d’évolution de Nernst-Planck-Poisson-Boltzmann modélise les transferts ioniques en milieu poreux saturé en prenant en compte des interactions électrocapillaires au contact du substrat. Ce modèle présente un intérêt particulier en génie civil pour étudier la dégradation par corrosion des matériaux cimentaires, à structure micro-locale périodique, sous l’effet des ions chlorures. Les techniques d’homogénéisation sont alors un outil puissant pour élaborer un modèle macroscopique équivalent en vue d’optimiser les programmes coûteux de maintenance et de réhabilitation des constructions dégradées par corrosion. On montre que le système fortement couplé obtenu est bien posé au sens d’Hadamard dans un cadre fonctionnel hilbertien et on établit diverses propriétés descriptives (loi de conservation de l’énergie, loi d’entropie en relation avec la notion de fonction de Liapounov, solutions stationnaires et asymptotiques, etc.).

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[1] Allaire (G.).— Homogenization and Two-Scale Convergence, SIAM J. Math. Anal. 23, (6), p. 1482-1518 (1992). | MR | Zbl

[2] Allaire (G.), Damlamian (A.), Hornung (V.).— Two-scale convergence on periodic surfaces and applications. In : Proceedings of the International Conference on Mathematical Modelling of Flow through Porous Media, A. Bourgeat et al. Eds, World Scientific Pub., Singapore, p. 15-25 (1996). | Zbl

[3] Biler (P.).— Existence and asymptotics of solutions for a parabolic-elliptic system with nonlinear no-flux boundary conditions. Nonlinear Anal. 19, no. 12, p. 1121-1136 (1992). | MR | Zbl

[4] Biler (P.), Dolbeault (J.).— Long time behavior of solutions of Nernst-Planck and Debye-Hückel drift-diffusion systems. Ann. Henri Poincaré 1, no. 3, p. 461-472 (2000). | MR | Zbl

[5] Blancher (S.), Creff (R.), Gagneux (G.), Lacabanne (B.), Montel (F.), Trujillo (D.).— Multicomponent flow in a porous medium. Adsorption and Soret effect phenomena : local study and upscaling process. M2AN, vol. 35, n 3, p. 481-512 (2001). | Numdam | MR | Zbl

[6] Conca (C.), Díaz (J. I.), Timofte (C.).— Effective chemical processes in porous media. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (M3AS), 13 (10), p. 1437-1462 (2003). | MR | Zbl

[7] Conca (C.), Díaz (J. I.), Liñán (A.), Timofte (C.).— Homogenization in chemical reactive flows, Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2004, No. 40, p. 1-22 (2004). | MR | Zbl

[8] Daiguji (H.), Yang (P.), Majumdar (A.).— Ion Transport in Nanofluidic Channels, Nano Letters, 4 (1), p. 137-142 (2004).

[9] Díaz (J. I.).— Two problems in homogeneisation of porous media. Media Extracta Mathematica, 14, n 2, p. 141-155 (1999). | MR | Zbl

[10] Díaz (J. I.), Galiano (G.), Jüngel (A.).— On a quasilinear degenerate system arising in semiconductor theory. Part I : Existence and uniqueness of solutions. Nonlinear Analysis. Real World Applications, 2, 305-336, 2001.- Part II : Localization of vacuum solutions, Nonlinear Analysis, 36, p. 569-594 (1999). | Zbl

[11] Gagneux (G.), Madaune-Tort (M.).— Analyse mathématique de modèles non linéaires de l’ingénierie pétrolière, Collection Mathématiques et Applications, Springer-Verlag , Berlin Heidelberg, vol. 22 (1996). | MR | Zbl

[12] Gagneux (G.).— Sur l’analyse de modèles de la filtration diphasique en milieu poreux. Équations aux dérivées partielles et applications, Articles dédiés à Jacques-Louis Lions, 527-540, Gauthier-Villars, Éd. Sci. Méd. Elsevier, Paris (1998). | MR | Zbl

[13] Gagneux (G.), Millet (O.).— Homogenization of the Nernst-Planck-Poisson system by two-scale convergence. Accepted for publication in Journal of Elasticity (2013). | MR

[14] Gajewski (H.), Gröger (K.).— On the basic equations for carrier transport in semiconductors. J. Math. Anal. Appl. 113, no. 1, p. 12-35 (1986). | MR | Zbl

[15] Grahame (D.C.).— Diffuse Double Layer Theory for Electrolytes of Unsymmetrical Valence Types, J. Chem. Phys. 21, p. 1054-1060 (1953).

[16] Grahame (D.C.).— The Electrical Double Layer and the Theory of Electro-capillarity. Chem. Rev., 41 (3), p. 441-501 (1947).

[17] Hornung (U.).— Homogenization and porous media, Interdisciplinary Applied Mathematics, vol. no. 6, Springer, New York (1997). | MR | Zbl

[18] Hornung (U.), Jäger (W.).— Diffusion, convection, adsorption, and reaction of chemicals in porous media, J. of Differential Equations, vol. 92, no2, p. 199-225 (1991). | MR | Zbl

[19] Lions (J.-L.).— Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles. Dunod  ; Gauthier-Villars, Paris (1968). | MR | Zbl

[20] Lions (J.-L.).— Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires. Dunod  ; Gauthier-Villars, Paris (1969). | MR | Zbl

[21] Marcus (M.), Mizel (V.J.).— Absolute continuity on tracks and Mappings of Sobolev spaces. Archiv. Rat. Mech. Anal., vol. 45, no 4, p. 294-318 (1972). | MR | Zbl

[22] Marcus (M.), Mizel (V.J.).— Every superposition operator mapping one Sobolev space into another is continuous. J. of Funct. Anal., 33, p. 217-229 (1979). | MR | Zbl

[23] Nguetseng (G.).— A General Convergence Result for a Functional Related to the Theory of Homogenization, SIAM J. Math. Anal. 20 (3), p. 608-623 (1989). | MR | Zbl

[24] Prohl (A.), Schmuck (M.).— Convergent finite element for discretizations of the Navier-Stokes-Nernst-Planck-Poisson system. M2AN Math. Model. Numer. Anal. 44, no. 3, p. 531-571 (2010). | Numdam | MR | Zbl

[25] Prohl (A.), Schmuck (M.).— Convergent discretizations for the Nernst-Planck-Poisson system. Numer. Math. 111, no. 4, p. 591-630 (2009). | MR | Zbl

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