Let be a non-pluripolar set in . Let be a function holomorphic in a connected open neighborhood of . Let be a sequence of polynomials with such that
We show that if
where is a set in such that the global extremal function in , then the maximal domain of existence of is one-sheeted, and
for every compact set . If, moreover, the sequence is bounded then .
If is a closed set in then if and only if each series of homogeneous polynomials , for which some subsequence of partial sums converges point-wise on , possesses Ostrowski gaps relative to a subsequence of .
In one-dimensional setting these results are due to J. Müller and A. Yavrian [5].
Soit un sous-ensemble non pluripolaire de . Soit une fonction holomorphe sur un voisinage ouvert connexe de . Soit une suite de polynômes de degré telle que
On démontre que si
où is est un sous-ensemble de tel que la fonction extrémale globale sur , alors le domaine maximal d’existence de est uniforme, et
pour tout compact . Si, de plus, la suite est bornée alors .
Si est un sous-ensemble fermé de alors si et seulement si chaque série de polynômes homogènes , ayant une sous-suite de sommes partielles convergeant ponctuellement sur , admet des lacunes de type Ostrowski relativement à une sous-suite de .
En dimension , ces résultats sont dûs à J. Müller and A. Yavrian [5].
@article{AFST_2011_6_20_S2_189_0, author = {Siciak, J\'ozef}, title = {Sets in ${\mathbb{C}}^N$ with vanishing global extremal function and polynomial approximation}, journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques}, pages = {189--209}, publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de math\'ematiques}, address = {Toulouse}, volume = {Ser. 6, 20}, number = {S2}, year = {2011}, doi = {10.5802/afst.1312}, zbl = {1229.32003}, mrnumber = {2858174}, language = {en}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1312/} }
TY - JOUR AU - Siciak, Józef TI - Sets in ${\mathbb{C}}^N$ with vanishing global extremal function and polynomial approximation JO - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques PY - 2011 SP - 189 EP - 209 VL - 20 IS - S2 PB - Université Paul Sabatier, Institut de mathématiques PP - Toulouse UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1312/ DO - 10.5802/afst.1312 LA - en ID - AFST_2011_6_20_S2_189_0 ER -
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Siciak, Józef. Sets in ${\mathbb{C}}^N$ with vanishing global extremal function and polynomial approximation. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6, Numéro Spécial : Actes du colloque Analyse Complexe et Applications en l’honneur de Nguyen Than Van, Volume 20 (2011) no. S2, pp. 189-209. doi : 10.5802/afst.1312. http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1312/
[1] Błocki (Z.).— Equilibrium measure of a product subset of , PAMS, 128(12), p. 3595-3599 (2000). | MR | Zbl
[2] Cegrell (U.), Kołodziej (S.) and Levenberg (N.).— Two problems on potential theory for unbounded sets, p. 265-276, Math. Scand., 83 (1998). | MR | Zbl
[3] Hayman (W. K.).— Subharmonic Functions, Vol. 2 Academic Press (1989). | MR | Zbl
[4] Klimek (M.).— Pluripotential Theory Oxford Univ. Press (1991). | MR | Zbl
[5] Müller (J.) and Yavria (A.).— On polynomial sequences with restricted growth near infinity, Bull. London Math. Soc., 34, p. 189-199 (2002). | MR | Zbl
[6] Siciak (J.).— Extremal plurisubharmonic functions in , Ann. Polon. Math., 39, p. 175-211 (1981). | EuDML | MR | Zbl
[7] Siciak (J.).— Extremal plurisubharmonic functions and capacities in , Sophia Kokyuroku in Mathematics, 14 Sophia University, Tokyo (1982). | Zbl
[8] BTaylor (B.A.).— An estimate for an extremal plurisubharmonic function in , Seminaire P. Lelong, P. Dolbeault, H. Skoda (Analyse), Lecture Notes in Math., 1028, Springer Verlag, 318-328 (1983). | MR | Zbl
[9] Truong Tuyen Trung.— Sets non-thin at in , J. Math. Anal. Appl., 356(2), p. 517-524 (2009). | MR | Zbl
Cited by Sources: