Integral representations for solutions of exponential Gauß-Manin systems

Hien, Marco; Roucairol, Céline

Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 136 (2008) no. 4, pp. 505-532.

Let $f,g:U\to {𝔸}^1$ be two regular functions from the smooth affine complex variety $U$ to the affine line. The associated exponential Gauß-Manin systems on the affine line are defined to be the cohomology sheaves of the direct image of the exponential differential system ${𝒪}_U{e}^g$ with respect to $f$. We prove that its holomorphic solutions admit representations in terms of period integrals over topological chains with possibly closed support and with rapid decay condition.

Soient $f,g:U\to {𝔸}^1$ deux fonctions régulières sur une variété affine lisse $U$ à valeurs dans la droite affine. On leurs associe des systèmes de Gauß-Manin sur la droite affine définis comme étant les faisceaux de cohomology de l’image directe par $f$ du système différentiel exponentiel ${𝒪}_U{e}^g$. Nous prouvons que leurs solutions holomorphes admettent des représentations sous forme d’intégrales de périodes sur des chaînes topologiques à support éventuellement fermé avec une condition de décroissance rapide.

Classification: 32S40,  32C38,  14F40
Keywords: gauß-Manin systems, $𝒟$-modules

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