Cohomologie et K-théorie équivariantes des variétés de Bott-Samelson et des variétés de drapeaux

Willems, Matthieu

Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 132 (2004) no. 4, pp. 569-589.

The aim of this text is to compute the equivariant cohomology and K-theory of Bott-Samelson varieties (theorem 3.3 and 4.3) and to deduce results about flag varieties of Kac-Moody groups. In section 3, we give a new proof of the formula for the restriction to fixed points of the basis ${\left\{{\widehat{\xi }}^w\right\}}_{w\in W}$ of $H_T^{*}(G/B)$ (theorem 3.9) proved by Sara Billey in [4]. In section 4, we give an explicit formula for the restriction to fixed points of the basis ${\left\{{\widehat{\psi }}^w\right\}}_{w\in W}$ of $K_T(G/B)$ defined by Kostant and Kumar in [13] (theorem 4.7). In the finite case, we describe how the basis ${\{*\left[{𝒪}_{{\overline{X}}_w}\right]\}}_{w\in W}$ transforms with respect to the basis ${\left\{{\widehat{\psi }}^w\right\}}_{w\in W}$ (theorem 4.11).

L’objet de cet article est de calculer la cohomologie et la K-théorie équivariantes des variétés de Bott-Samelson (théorèmes 3.3 et 4.3) et d’en déduire des résultats sur les variétés de drapeaux des groupes de Kac-Moody. Dans la section 3, on retrouve la formule de restriction aux points fixes de la base ${\left\{{\widehat{\xi }}^w\right\}}_{w\in W}$ de $H_T^{*}(G/B)$ (théorème 3.9) prouvée par Sara Billey dans [4]. Dans la section 4, on donne l’expression explicite de la restriction aux points fixes de la base ${\left\{{\widehat{\psi }}^w\right\}}_{w\in W}$ de $K_T(G/B)$ définie par Kostant et Kumar dans [13] (théorème 4.7). Dans le cas fini, cette étude nous permet également de calculer la matrice de changement de bases entre ${\left\{{\widehat{\psi }}^w\right\}}_{w\in W}$ et ${\{*\left[{𝒪}_{{\overline{X}}_w}\right]\}}_{w\in W}$ (théorème 4.11).

[1] A. Arabia - « Cohomologie T-équivariante de la variété de drapeaux d'un groupe de Kac-Moody », Bull. Soc. Math. France 117 (1989), p. 129-165. | Numdam | MR | Zbl

[2] M. Atiyah & R. Bott - « A Lefschetz fixed-point formula for elliptic complexes I », Ann. of Math. 86 (1967), p. 347-407. | MR | Zbl

[3] N. Berline & M. Vergne - « Classes caractéristiques équivariantes. Formules de localisation en cohomologie équivariante », C.R. Acad. Sci. Paris 295 (1982), p. 539-541. | MR | Zbl

[4] S. Billey - « Kostant polynomials and the cohomology of G/B », Duke Math. J. 96 (1999), p. 205-224. | MR | Zbl

[5] R. Bott & H. Samelson - « Applications of the theory of Morse to symmetric spaces », Amer. J. Math. 70 (1958), p. 964-1028. | MR | Zbl

[6] N. Bourbaki - Groupes et algèbres de Lie, chap. 4-6, Hermann, Paris, 1968. | MR | Zbl

[7] N. Chriss & V. Ginzburg - Representation Theory and Complex Geometry, Birkhäuser, 1997. | MR | Zbl

[8] S. Fomin & A. Kirillov - « Universal exponential solution of the Yang-Baxter equation », Lett. Math. Phys. 37 (1996), p. 273-284. | MR | Zbl

[9] W. Graham - « Equivariant K-theory and Schubert varieties », Preprint, 2002.

[10] H. Hansen - « On cycles in flag manifolds », Math. Scand. 33 (1973), p. 269-274. | MR | Zbl

[11] V. Kac - Infinite dimensional Lie algebras, Cambridge University Press, 1985. | MR | Zbl

[12] V. Kac & D. Peterson - « Regular functions on certain infinite dimensional groups », Arithmetic and Geometry-II, Birkhäuser, 1983, p. 141-166. | MR | Zbl

[13] B. Kostant & S. Kumar - « T-equivariant K-theory of generalized flag varieties », J. Diff. Geom. 32 (1990), p. 549-603. | MR | Zbl

[14] S. Kumar - « The nil-Hecke ring and singularities of Schubert varieties », Invent. Math. 123 (1996), p. 471-506. | MR | Zbl

[15] -, Kac Moody Groups, their Flag Varieties and Representation Theory, Progress in Mathematics, vol. 204, Birkhäuser, 2002. | MR | Zbl

[16] A. Lascoux, B. Leclerc & J.-Y. Thibon - « Flag varieties and the Yang-Baxter equation », Lett. Math. Phys. 40 (1997), p. 75-90. | MR | Zbl