Conducteur, descente et pincement
[Conductor, Descent and Pinching]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 131 (2003) no. 4, pp. 553-585.

This paper investigates some fiber products of rings, and dually some pushouts of schemes. The algebraic side is centered on the use of the conductor to solve some descent problems, problems which can be better reached by comparing suitable categories of modules on the fiber product of rings, with the fiber product of the similar categories for each of the factors. The main algebraic result (§2.2) asserts that these categories are very close to be equivalent, and that they are indeed equivalent as long as one restricts to flat modules. The geometric side is concerned with the existence of schemes defined by pinching: starting with a scheme X ' , a closed subscheme Y ' and a finite morphism Y ' Y, the “pinching construction” is intended to produce a scheme X which is the pushout of X ' along the morphism Y ' Y; such a scheme is proved to exist (§5.4) under the mild asumption that any finite set of points in X ' (resp. in Y) is contained in an open affine subset of X ' (resp. of Y).

Une somme amalgamée de schémas est décrite localement par un produit fibré d'anneaux. Ce texte donne un résultat global d'existence (§5.4) de schémas définis comme certaines sommes amalgamées et un procédé algébrique (§2.2) pour décrire les modules sur produits fibrés d'anneaux correspondants.

DOI: 10.24033/bsmf.2455
Classification: 13Axx,  13Bxx,  14A15
Keywords: fiber product, pushout, finite descent, pinching
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Ferrand, Daniel. Conducteur, descente et pincement. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 131 (2003) no. 4, pp. 553-585. doi : 10.24033/bsmf.2455. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2455/

[1] S. Anantharaman - Schémas en groupes, espaces homogènes et espaces algébriques sur une base de dimension 1, Mém. Soc. Math. France, vol. 33, Soc. Math. France, Paris, 1973. | Numdam | MR | Zbl

[2] M. Artin - « Algebraization of Formal Moduli II : Existence of Modifications », Annals of Math. 91 (1970), p. 88-135. | MR | Zbl

[3] H. Bass - Algebraic K-Theory, Benjamin, 1968. | MR | Zbl

[4] J. Bénabou & J. Roubaud - « Monades et descente », C. R. Acad. Sci. Paris 270 (1970), p. 96-98. | MR | Zbl

[5] N. Bourbaki - Algèbre commutative, Masson, Paris, 1961-1998. | MR

[6] -, Topologie générale, chap. 1 à 4, Masson, Paris, 1990.

[7] P. Colmez & J.-P. Serre (éds.) - Correspondance Grothendieck-Serre, Documents mathématiques, vol. 2, Soc. Math. France, Paris, 2001. | MR | Zbl

[8] D. Ferrand - « Descente de la platitude par un homomorphisme fini », C. R. Acad. Sci. Paris 269 (1969), p. 946-949. | MR | Zbl

[9] A. Grothendieck - Éléments de géométrie algébrique, rédigés avec la collaboration de J.Dieudonné, chap.I, Springer-Verlag, 1971 ; chap.II-IV, Publ. Math. I.H.E.S., 1961-1967. | Zbl

[10] -, « Techniques de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique, I », Séminaire Bourbaki, 1959/60, Soc. Math. France, Paris, 1995, exposé190. | Numdam | Zbl

[11] A. Levelt - Sur la pro-représentabilité de certains foncteurs en géométrie algébrique, Katholieke Universiteit, Nijmegen, 1964, notes multigraphiées.

[12] J. Milnor - Introduction to Algebraic K-Theory, Ann. Math. Studies, vol. 72, Princeton University Press, 1971. | MR | Zbl

[13] J.-P. Olivier - « Anneaux absolument plats universels », in [18], exposé 6. | MR

[14] -, « L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes et les parties constructibles », Bol. Soc. Mat. Mexicana 23 (1978), no. 2, p. 68-74. | MR | Zbl

[15] A. Philippe - « Morphisme net d'anneaux et descente », Bull. Sci. Math. 97 (1973), no. 2, p. 57-64. | MR | Zbl

[16] M. Raynaud - « Un critère d'effectivité de descente », in [18], exposé 5. | Numdam | Zbl

[17] -, « Passage au quotient par une relation d'équivalence plate », Proc. Conf. on Local Fields, Springer-Verlag, 1967, p. 78-85. | MR | Zbl

[18] P. Samuel (éd.) - Séminaire d'algèbre commutative, 1967/68 : Les épimorphismes d'anneaux, E.N.S.J.F., 1968. | Zbl

[19] J.-P. Serre - Groupes algébriques et corps de classes, Hermann, Paris, 1959. | MR | Zbl

[20] J. Venken - « Non effectivité de la descente de modules plats par un morphisme fini d'anneaux locaux artiniens », C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A-B 272 (1971), p. A1553-A1554. | MR | Zbl

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