Geometric theta-lifting for the dual pair 𝕊𝕆 2m ,𝕊p 2n
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Serie 4, Volume 44 (2011) no. 3, pp. 427-493.

Let X be a smooth projective curve over an algebraically closed field of characteristic >2. Consider the dual pair H= SO 2m ,G= Sp 2n over X with H split. Write Bun G and Bun H for the stacks of G-torsors and H-torsors on X. The theta-kernel Aut G,H on Bun G × Bun H yields theta-lifting functors F G :D( Bun H )D( Bun G ) and F H :D( Bun G )D( Bun H ) between the corresponding derived categories. We describe the relation of these functors with Hecke operators. In two particular cases these functors realize the geometric Langlands functoriality for the above pair (in the non ramified case). Namely, we show that for n=m the functor F G :D( Bun H )D( Bun G ) commutes with Hecke operators with respect to the inclusion of the Langlands dual groups H ˇ ˜ SO 2n SO 2n+1 ˜G ˇ. For m=n+1 we show that the functor F H :D( Bun G )D( Bun H ) commutes with Hecke operators with respect to the inclusion of the Langlands dual groups G ˇ ˜ SO 2n+1 SO 2n+2 ˜H ˇ. In other cases the relation is more complicated and involves the SL 2 of Arthur. As a step of the proof, we establish the geometric theta-lifting for the dual pair GL m , GL n . Our global results are derived from the corresponding local ones, which provide a geometric analog of a theorem of Rallis.

Soit X une courbe projective lisse sur un corps algébriquement clos de caractéristique >2. On considère la paire duale H= SO 2m , G= Sp 2n sur XH est déployé. Notons Bun G et Bun H les champs de modules des G-torseurs et des H-torseurs sur X. Le faisceau thêta Aut G,H sur Bun G × Bun H donne lieu aux foncteurs de thêta-lifting F G :D( Bun H )D( Bun G ) et F H :D( Bun G )D( Bun H ) entre les catégories dérivées correspondantes. On décrit la relation entre ces foncteurs et les opérateurs de Hecke. Dans deux cas particuliers cela devient la fonctorialité de Langlands géométrique pour cette paire (cas partout non ramifié). À savoir, on montre que pour n=m le foncteur F G :D( Bun H )D( Bun G ) commute avec les opérateurs de Hecke par rapport à l’inclusion des groupes duaux de Langlands H ˇ ˜ SO 2n SO 2n+1 ˜G ˇ. Pour m=n+1 on montre que le foncteur F H :D( Bun G )D( Bun H ) commute avec les opérateurs de Hecke par rapport à l’inclusion des groupes duaux de Langlands G ˇ ˜ SO 2n+1 SO 2n+2 ˜H ˇ. Dans d’autres cas la relation est plus complexe et fait intervenir le SL 2 d’Arthur. Comme une étape de la preuve, on établit le thêta-lifting géométrique pour la paire duale GL m , GL n . Nos résultats globaux sont déduits de résultats locaux correspondants, qui géométrisent un théorème de Rallis.

DOI: 10.24033/asens.2147
Classification: 11R39, 14H60
Keywords: theta-lifting, geometric Langlands, Langlands functoriality, theta-sheaf
Mot clés : thêta-lifting, Langlands géométrique, fonctorialité de Langlands, faisceau thêta
@article{ASENS_2011_4_44_3_427_0,
     author = {Lysenko, Sergey},
     title = {Geometric theta-lifting for the dual pair $\mathbb {SO}_{2m}, \mathbb {S}\mathrm {p}_{2n}$},
     journal = {Annales scientifiques de l'\'Ecole Normale Sup\'erieure},
     pages = {427--493},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {Ser. 4, 44},
     number = {3},
     year = {2011},
     doi = {10.24033/asens.2147},
     mrnumber = {2839456},
     zbl = {1229.22015},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2147/}
}
TY  - JOUR
AU  - Lysenko, Sergey
TI  - Geometric theta-lifting for the dual pair $\mathbb {SO}_{2m}, \mathbb {S}\mathrm {p}_{2n}$
JO  - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY  - 2011
SP  - 427
EP  - 493
VL  - 44
IS  - 3
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2147/
DO  - 10.24033/asens.2147
LA  - en
ID  - ASENS_2011_4_44_3_427_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Lysenko, Sergey
%T Geometric theta-lifting for the dual pair $\mathbb {SO}_{2m}, \mathbb {S}\mathrm {p}_{2n}$
%J Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
%D 2011
%P 427-493
%V 44
%N 3
%I Société mathématique de France
%U http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2147/
%R 10.24033/asens.2147
%G en
%F ASENS_2011_4_44_3_427_0
Lysenko, Sergey. Geometric theta-lifting for the dual pair $\mathbb {SO}_{2m}, \mathbb {S}\mathrm {p}_{2n}$. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Serie 4, Volume 44 (2011) no. 3, pp. 427-493. doi : 10.24033/asens.2147. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2147/

[1] J. Adams, L-functoriality for dual pairs, Astérisque 171-172 (1989), 85-129. | Numdam | Zbl

[2] A. A. Beilinson, J. Bernstein & P. Deligne, Faisceaux pervers, Astérisque 100 (1982), 5-171. | MR | Zbl

[3] A. A. Beilinson & V. Drinfeld, Quantization of Hitchin's integrable system and Hecke eigen-sheaves, preprint http://www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands.html. | MR

[4] T. Braden, Hyperbolic localization of intersection cohomology, Transform. Groups 8 (2003), 209-216. | MR | Zbl

[5] A. Braverman & D. Gaitsgory, Geometric Eisenstein series, Invent. Math. 150 (2002), 287-384. | MR | Zbl

[6] E. Frenkel, D. Gaitsgory & K. Vilonen, Whittaker patterns in the geometry of moduli spaces of bundles on curves, Ann. of Math. 153 (2001), 699-748. | MR | Zbl

[7] E. Frenkel, D. Gaitsgory & K. Vilonen, On the geometric Langlands conjecture, J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), 367-417. | MR | Zbl

[8] D. Gaitsgory, Construction of central elements in the affine Hecke algebra via nearby cycles, Invent. Math. 144 (2001), 253-280. | Zbl

[9] D. Gaitsgory, On a vanishing conjecture appearing in the geometric Langlands correspondence, Ann. of Math. 160 (2004), 617-682. | MR | Zbl

[10] D. Gaitsgory, On de Jong's conjecture, Israel J. Math. 157 (2007), 155-191. | MR | Zbl

[11] D. Gaitsgory & D. Nadler, Spherical varieties and Langlands duality, Mosc. Math. J. 10 (2010), 65-137. | MR | Zbl

[12] R. Howe, Another look at the local θ-correspondence for an unramified dual pair, in Festschrift in honor of I. I. Piatetski-Shapiro on the occasion of his sixtieth birthday, Part I (Ramat Aviv, 1989), Israel Math. Conf. Proc. 2, Weizmann, 1990, 93-124. | MR | Zbl

[13] M. Kapranov & E. Vasserot, Vertex algebras and the formal loop space, Publ. Math. I.H.É.S. 100 (2004), 209-269. | Numdam | MR | Zbl

[14] S. S. Kudla, On the local theta-correspondence, Invent. Math. 83 (1986), 229-255. | MR | Zbl

[15] S. S. Kudla, Notes on the local theta correspondence, lecture notes http://www.math.toronto.edu/~skudla/castle.pdf, 1996. | Zbl

[16] V. Lafforgue & S. Lysenko, Geometric Weil representation: local field case, Compos. Math. 145 (2009), 56-88. | Zbl

[17] Y. Laszlo & M. Olsson, The six operations for sheaves on Artin stacks. II. Adic coefficients, Publ. Math. I.H.É.S. 107 (2008), 169-210. | Numdam | Zbl

[18] G. Laumon, Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionnelles et conjecture de Weil, Publ. Math. I.H.É.S. 65 (1987), 131-210. | Numdam | Zbl

[19] S. Lysenko, Moduli of metaplectic bundles on curves and theta-sheaves, Ann. Sci. École Norm. Sup. 39 (2006), 415-466. | Numdam | Zbl

[20] S. Lysenko, Geometric Waldspurger periods, Compos. Math. 144 (2008), 377-438. | Zbl

[21] I. Mirković & K. Vilonen, Geometric Langlands duality and representations of algebraic groups over commutative rings, Ann. of Math. 166 (2007), 95-143. | Zbl

[22] C. Mœglin, M.-F. Vignéras & J.-L. Waldspurger, Correspondances de Howe sur un corps p-adique, Lecture Notes in Math. 1291, Springer, 1987. | Zbl

[23] S. Rallis, Langlands' functoriality and the Weil representation, Amer. J. Math. 104 (1982), 469-515. | Zbl

Cited by Sources: