Bruhat-Tits theory from Berkovich's point of view. I. Realizations and compactifications of buildings
[Théorie de Bruhat-Tits du point de vue de Berkovich I. Réalisations et compactifications d'immeubles]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 43 (2010) no. 3, pp. 461-554.

Nous étudions les immeubles de Bruhat-Tits et leurs compactifications au moyen de la géométrie analytique sur les corps complets non archimédiens au sens de Berkovich. Pour tout groupe réductif G sur un corps non archimédien convenable k, nous définissons une application de l’immeuble de Bruhat-Tits (G,k) vers l’espace analytique de Berkovich G an associé à G. En composant cette application avec la projection sur les variétés de drapeaux, nous obtenons une famille de compactifications de (G,k). Ceci généralise des résultats de Berkovich sur le cas déployé. En outre, nous démontrons que les strates au bord des immeubles compactifiés sont précisément les immeubles de Bruhat-Tits associés à certaines classes de sous-groupes paraboliques. Nous étudions également les stabilisateurs des points au bord et démontrons un théorème de décomposition de Bruhat mixte pour ces groupes.

We investigate Bruhat-Tits buildings and their compactifications by means of Berkovich analytic geometry over complete non-Archimedean fields. For every reductive group G over a suitable non-Archimedean field k we define a map from the Bruhat-Tits building (G,k) to the Berkovich analytic space G an associated with G. Composing this map with the projection of G an to its flag varieties, we define a family of compactifications of (G,k). This generalizes results by Berkovich in the case of split groups. Moreover, we show that the boundary strata of the compactified buildings are precisely the Bruhat-Tits buildings associated with a certain class of parabolics. We also investigate the stabilizers of boundary points and prove a mixed Bruhat decomposition theorem for them.

DOI : 10.24033/asens.2126
Classification : 20E42, 51E24, 14L15, 14G22
Keywords: algebraic group, local field, Berkovich geometry, Bruhat-Tits building, compactification
Mot clés : groupe algébrique, corps local, géométrie de Berkovich, immeuble de Bruhat-Tits, compactification
@article{ASENS_2010_4_43_3_461_0,
     author = {R\'emy, Bertrand and Thuillier, Amaury and Werner, Annette},
     title = {Bruhat-Tits theory from {Berkovich's} point of view. {I.} {Realizations} and compactifications of buildings},
     journal = {Annales scientifiques de l'\'Ecole Normale Sup\'erieure},
     pages = {461--554},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {Ser. 4, 43},
     number = {3},
     year = {2010},
     doi = {10.24033/asens.2126},
     mrnumber = {2667022},
     zbl = {1198.51006},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2126/}
}
TY  - JOUR
AU  - Rémy, Bertrand
AU  - Thuillier, Amaury
AU  - Werner, Annette
TI  - Bruhat-Tits theory from Berkovich's point of view. I. Realizations and compactifications of buildings
JO  - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY  - 2010
SP  - 461
EP  - 554
VL  - 43
IS  - 3
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2126/
DO  - 10.24033/asens.2126
LA  - en
ID  - ASENS_2010_4_43_3_461_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Rémy, Bertrand
%A Thuillier, Amaury
%A Werner, Annette
%T Bruhat-Tits theory from Berkovich's point of view. I. Realizations and compactifications of buildings
%J Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
%D 2010
%P 461-554
%V 43
%N 3
%I Société mathématique de France
%U http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2126/
%R 10.24033/asens.2126
%G en
%F ASENS_2010_4_43_3_461_0
Rémy, Bertrand; Thuillier, Amaury; Werner, Annette. Bruhat-Tits theory from Berkovich's point of view. I. Realizations and compactifications of buildings. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 43 (2010) no. 3, pp. 461-554. doi : 10.24033/asens.2126. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2126/

[1] Schémas en groupes. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962/64 (SGA3) (M. Demazure & A. Grothendieck, éds.), Lecture Notes in Math. 151-153, 1970. | Zbl

[2] P. Abramenko & K. S. Brown, Buildings. Theory and applications, Graduate Texts in Math. 248, Springer, 2008. | MR | Zbl

[3] W. L. J. Baily & A. Borel, Compactification of arithmetic quotients of bounded symmetric domains, Ann. of Math. 84 (1966), 442-528. | MR | Zbl

[4] V. G. Berkovich, Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields, Mathematical Surveys and Monographs 33, Amer. Math. Soc., 1990. | MR | Zbl

[5] V. G. Berkovich, Étale cohomology for non-Archimedean analytic spaces, Publ. Math. I.H.É.S. 78 (1993), 5-161. | Numdam | MR | Zbl

[6] V. G. Berkovich, Vanishing cycles for formal schemes, Invent. Math. 115 (1994), 539-571. | MR | Zbl

[7] V. G. Berkovich, The automorphism group of the Drinfelʼd half-plane, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 321 (1995), 1127-1132. | MR | Zbl

[8] V. G. Berkovich, p-adic analytic spaces, in Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998), extra vol. II, 1998, 141-151. | MR | Zbl

[9] A. Borel, Linear algebraic groups, second éd., Graduate Texts in Math. 126, Springer, 1991. | MR | Zbl

[10] A. Borel & L. Ji, Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces, Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser, 2006. | MR | Zbl

[11] A. Borel & J-P. Serre, Corners and arithmetic groups, Comment. Math. Helv. 48 (1973), 436-491. | EuDML | MR | Zbl

[12] A. Borel & J. Tits, Groupes réductifs, Publ. Math. I.H.É.S. 27 (1965), 55-150. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[13] S. Bosch, U. Güntzer & R. Remmert, Non-Archimedean analysis, Grund. Math. Wiss. 261, Springer, 1984. | MR | Zbl

[14] S. Bosch, W. Lütkebohmert & M. Raynaud, Néron models, Ergebnisse Math. Grenzg. 21, Springer, 1990. | Zbl

[15] N. Bourbaki, Algèbre commutative, ch. 5-6, Éléments de mathématique, Springer, 2007. | Zbl

[16] N. Bourbaki, Intégration, ch. 7-8, Éléments de mathématique, Springer, 2007. | MR | Zbl

[17] N. Bourbaki, Théories spectrales, ch. 1-2, Éléments de mathématique, Springer, 2007. | Zbl

[18] J.-F. Boutot & H. Carayol, Uniformisation p-adique des courbes de Shimura : les théorèmes de Čerednik et de Drinfel ' d, Astérisque 196-197 (1991), 45-158. | MR | Zbl

[19] F. Bruhat & J. Tits, Groupes réductifs sur un corps local. I. Données radicielles valuées, Publ. Math. I.H.É.S. 41 (1972), 5-251. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[20] F. Bruhat & J. Tits, Groupes réductifs sur un corps local. II. Schémas en groupes. Existence d'une donnée radicielle valuée, Publ. Math. I.H.É.S. 60 (1984), 197-376. | EuDML | Numdam | Zbl

[21] C. Chevalley, Certains schémas de groupes semi-simples. Séminaire Bourbaki, vol. 1960/61, exposé no 219, Collection hors série, SMF 6 (1995), 219-234. | EuDML | Numdam | Zbl

[22] C. Chevalley, Classification des groupes algébriques semi-simples, Collected works 3, Springer, 2005. | Zbl

[23] P. Deligne, Travaux de Shimura. Séminaire Bourbaki, vol. 1970/71, exposé no 389, Lecture Notes in Math. 244 (1971), 123-165. | EuDML | Numdam | Zbl

[24] M. Demazure, Schémas en groupes réductifs, Bull. Soc. Math. France 93 (1965), 369-413. | EuDML | Numdam | Zbl

[25] M. Demazure & P. Gabriel, Groupes algébriques. Tome I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs, Masson, Paris, 1970. | Zbl

[26] A. Ducros, Variation de la dimension relative en géométrie analytique p-adique, Compos. Math. 143 (2007), 1511-1532. | Zbl

[27] H. Furstenberg, A Poisson formula for semi-simple Lie groups, Ann. of Math. 77 (1963), 335-386. | Zbl

[28] O. Goldman & N. Iwahori, The space of 𝔭-adic norms, Acta Math. 109 (1963), 137-177. | Zbl

[29] A. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique, chapitres I-IV, Publ. Math. I.H.É.S. 4, 8, etc., 1960-67. | Numdam | Zbl

[30] A. Grothendieck, Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie - SGA1. Revêtements étales et groupe fondamental, Documents math. de la S.M.F. 3 (2003). | MR | Zbl

[31] L. Gruson, Théorie de Fredholm p-adique, Bull. Soc. Math. France 94 (1966), 67-95. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[32] Y. Guivarc'H, L. Ji & J. C. Taylor, Compactifications of symmetric spaces, Progress in Math. 156, Birkhäuser, 1998. | MR | Zbl

[33] Y. Guivarc'H & B. Rémy, Group-theoretic compactification of Bruhat-Tits buildings, Ann. Sci. École Norm. Sup. 39 (2006), 871-920. | EuDML | MR | Zbl

[34] M.-A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost & J.-P. Tignol, The book of involutions, American Mathematical Society Colloquium Publications 44, Amer. Math. Soc., 1998. | MR | Zbl

[35] E. Landvogt, A compactification of the Bruhat-Tits building, Lecture Notes in Math. 1619, Springer, 1996. | MR | Zbl

[36] G. A. Margulis, Discrete subgroups of semisimple Lie groups, Ergebn. Math. Grenzg. 17, Springer, 1991. | MR | Zbl

[37] G. Prasad, Galois-fixed points in the Bruhat-Tits building of a reductive group, Bull. Soc. Math. France 129 (2001), 169-174. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[38] G. Prasad & J.-K. Yu, On finite group actions on reductive groups and buildings, Invent. Math. 147 (2002), 545-560. | MR | Zbl

[39] B. Rémy, A. Thuillier & A. Werner, Bruhat-Tits theory from Berkovich's point of view II. Satake compactifications of buildings, preprint arXiv:0907.3264. | Zbl

[40] G. Rousseau, Immeubles des groupes réductifs sur les corps locaux, Thèse de doctorat, Université Paris XI, Orsay, 1977, Publications Mathématiques d'Orsay, no 221-77.68. | MR | Zbl

[41] G. Rousseau, Euclidean buildings, Séminaires et congrès 18 (2008), 77-118. | MR | Zbl

[42] I. Satake, On representations and compactifications of symmetric Riemannian spaces, Ann. of Math. 71 (1960), 77-110. | MR | Zbl

[43] T. A. Springer, Linear algebraic groups, second éd., Progress in Math. 9, Birkhäuser, 1998. | MR | Zbl

[44] R. Steinberg, Lectures on Chevalley groups, lecture notes, Yale University, 1968. | MR | Zbl

[45] J. Tits, On buildings and their applications, in Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B. C., 1974), Vol. 1, Canad. Math. Congress, Montréal, Québec, 1975, 209-220. | MR | Zbl

[46] J. Tits, Reductive groups over local fields 1977), Part 1, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., 1979, 29-69. | MR | Zbl

[47] J. Tits, Immeubles de type affine, in Buildings and the geometry of diagrams (Como, 1984), Lecture Notes in Math. 1181, Springer, 1986, 159-190. | MR | Zbl

[48] W. C. Waterhouse, Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Math. 66, Springer, 1979. | MR | Zbl

[49] A. Werner, Compactification of the Bruhat-Tits building of PGL by seminorms, Math. Z. 248 (2004), 511-526. | MR | Zbl

[50] A. Werner, Compactifications of Bruhat-Tits buildings associated to linear representations, Proc. Lond. Math. Soc. 95 (2007), 497-518. | MR | Zbl

Cité par Sources :