Pourquoi les points périodiques des homéomorphismes du plan tournent-ils autour de certains points fixes ?
[Why do periodic points of plane homeomorphisms turn around certain fixed points?]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Serie 4, Volume 41 (2008) no. 1, pp. 141-176.

Let f be an orientation-preserving homeomorphism of the euclidean plane 2 that has a periodic point z * of period q2. We prove the existence of a fixed point z such that the linking number between z * and z is different from zero. That means that the rotation number of z * in the annulus 2 {z} is a non-zero element of /. This gives a positive answer to a question asked by John Franks.

Soit f un homéomorphisme du plan qui préserve l’orientation et qui a un point périodique z * de période q2. Nous montrons qu’il existe un point fixe z tel que le nombre d’enlacement de z * et z ne soit pas nul. En d’autres termes, le nombre de rotation de l’orbite de z * dans l’anneau 2 {z} est un élément non nul de /. Ceci donne une réponse positive à une question posée par John Franks.

DOI: 10.24033/asens.2065
Classification: 37C25, 37E30, 37E35, 37B25, 37B30
Keywords: orbite périodique, homéomorphisme du plan, nombre d'enlacement, indice, feuilletage dynamiquement transverse
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[1] F. Béguin, S. Crovisier & F. Le Roux, Pseudo-rotations of the open annulus, Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.) 37 (2006), 275-306. | Zbl

[2] C. Bonatti & B. Kolev, Existence de points fixes enlacés à une orbite périodique d'un homéomorphisme du plan, Ergodic Theory Dynam. Systems 12 (1992), 677-682. | Zbl

[3] P. Boyland & J. Franks, Notes on dynamics of surface homeomorphisms, Informal Lecture Notes, Warwick, 1988.

[4] L. E. J. Brouwer, Beweis des ebenen Translationssatzes, Math. Ann. 72 (1912), 37-54. | JFM | MR

[5] A. Dehove, Décomposition d'un difféomorphisme en produit de difféomorphismes déviant la verticale : applications à certains problèmes de topologie en dimension 2, Thèse, Université Paris 13, 1998.

[6] J. Franks, M. Handel & K. Parwani, Fixed points of abelian actions, J. Mod. Dyn. 1 (2007), 443-464. | Zbl

[7] J.-M. Gambaudo, Periodic orbits and fixed points of a C 1 orientation-preserving embedding of D 2 , Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 108 (1990), 307-310. | MR | Zbl

[8] J. Guaschi, Representations of Artin's braid groups and linking numbers of periodic orbits, J. Knot Theory Ramifications 4 (1995), 197-212. | MR | Zbl

[9] M.-E. Hamstrom & E. Dyer, Regular mappings and the space of homeomorphisms on a 2-manifold, Duke Math. J. 25 (1958), 521-531. | Zbl

[10] T. Homma, An extension of the Jordan curve theorem, Yokohama Math. J. 1 (1953), 125-129. | MR | Zbl

[11] H. Kneser, Die Deformationssätze der einfach zusammenhängenden Flächen, Math. Z. 25 (1926), 362-372. | JFM | MR

[12] B. Kolev, Point fixe lié à une orbite périodique d’un difféomorphisme de 2 , C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 310 (1990), 831-833. | MR | Zbl

[13] P. Le Calvez, Décomposition des difféomorphismes du tore en applications déviant la verticale, Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 79 (1999), 146.

[14] P. Le Calvez, Une version feuilletée équivariante du théorème de translation de Brouwer, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 102 (2005), 1-98. | Numdam | MR | Zbl

[15] P. Le Calvez, Periodic orbits of Hamiltonian homeomorphisms of surfaces, Duke Math. J. 133 (2006), 125-184. | MR | Zbl

[16] F. Le Roux, Homéomorphismes de surfaces : théorèmes de la fleur de Leau-Fatou et de la variété stable, Astérisque 292 (2004), 210. | Numdam | MR | Zbl

[17] J. J. Palis & W. D. Melo, Geometric theory of dynamical systems. An introduction, Springer, 1982. | Zbl

[18] C. Viterbo, Symplectic topology as the geometry of generating functions, Math. Ann. 292 (1992), 685-710. | MR | Zbl

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