Pourquoi les points périodiques des homéomorphismes du plan tournent-ils autour de certains points fixes ?
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 41 (2008) no. 1, pp. 141-176.

Soit f un homéomorphisme du plan qui préserve l’orientation et qui a un point périodique z* de période q2. Nous montrons qu’il existe un point fixe z tel que le nombre d’enlacement de z* et z ne soit pas nul. En d’autres termes, le nombre de rotation de l’orbite de z* dans l’anneau 2{z} est un élément non nul de /. Ceci donne une réponse positive à une question posée par John Franks.

Let f be an orientation-preserving homeomorphism of the euclidean plane 2 that has a periodic point z* of period q2. We prove the existence of a fixed point z such that the linking number between z* and z is different from zero. That means that the rotation number of z* in the annulus 2{z} is a non-zero element of /. This gives a positive answer to a question asked by John Franks.

DOI : 10.24033/asens.2065
Classification : 37C25, 37E30, 37E35, 37B25, 37B30
Mots-clés : orbite périodique, homéomorphisme du plan, nombre d'enlacement, indice, feuilletage dynamiquement transverse
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[1] F. Béguin, S. Crovisier & F. Le Roux, Pseudo-rotations of the open annulus, Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.) 37 (2006), 275-306. | Zbl

[2] C. Bonatti & B. Kolev, Existence de points fixes enlacés à une orbite périodique d'un homéomorphisme du plan, Ergodic Theory Dynam. Systems 12 (1992), 677-682. | Zbl

[3] P. Boyland & J. Franks, Notes on dynamics of surface homeomorphisms, Informal Lecture Notes, Warwick, 1988.

[4] L. E. J. Brouwer, Beweis des ebenen Translationssatzes, Math. Ann. 72 (1912), 37-54. | JFM | MR

[5] A. Dehove, Décomposition d'un difféomorphisme en produit de difféomorphismes déviant la verticale : applications à certains problèmes de topologie en dimension 2, Thèse, Université Paris 13, 1998.

[6] J. Franks, M. Handel & K. Parwani, Fixed points of abelian actions, J. Mod. Dyn. 1 (2007), 443-464. | Zbl

[7] J.-M. Gambaudo, Periodic orbits and fixed points of a C1 orientation-preserving embedding of D2, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 108 (1990), 307-310. | MR | Zbl

[8] J. Guaschi, Representations of Artin's braid groups and linking numbers of periodic orbits, J. Knot Theory Ramifications 4 (1995), 197-212. | MR | Zbl

[9] M.-E. Hamstrom & E. Dyer, Regular mappings and the space of homeomorphisms on a 2-manifold, Duke Math. J. 25 (1958), 521-531. | Zbl

[10] T. Homma, An extension of the Jordan curve theorem, Yokohama Math. J. 1 (1953), 125-129. | MR | Zbl

[11] H. Kneser, Die Deformationssätze der einfach zusammenhängenden Flächen, Math. Z. 25 (1926), 362-372. | JFM | MR

[12] B. Kolev, Point fixe lié à une orbite périodique d’un difféomorphisme de 2, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 310 (1990), 831-833. | MR | Zbl

[13] P. Le Calvez, Décomposition des difféomorphismes du tore en applications déviant la verticale, Mém. Soc. Math. Fr. (N.S.) 79 (1999), 146.

[14] P. Le Calvez, Une version feuilletée équivariante du théorème de translation de Brouwer, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 102 (2005), 1-98. | Numdam | MR | Zbl

[15] P. Le Calvez, Periodic orbits of Hamiltonian homeomorphisms of surfaces, Duke Math. J. 133 (2006), 125-184. | MR | Zbl

[16] F. Le Roux, Homéomorphismes de surfaces : théorèmes de la fleur de Leau-Fatou et de la variété stable, Astérisque 292 (2004), 210. | Numdam | MR | Zbl

[17] J. J. Palis & W. D. Melo, Geometric theory of dynamical systems. An introduction, Springer, 1982. | Zbl

[18] C. Viterbo, Symplectic topology as the geometry of generating functions, Math. Ann. 292 (1992), 685-710. | MR | Zbl

  • Liu, Xiang Braids and linked periodic orbits of disc homeomorphisms, Topology and its Applications, Volume 342 (2024), p. 108778 | DOI:10.1016/j.topol.2023.108778
  • Le Calvez, Patrice; Tal, Fabio Topological horseshoes for surface homeomorphisms, Duke Mathematical Journal, Volume 171 (2022) no. 12 | DOI:10.1215/00127094-2022-0057
  • Le Roux, Frédéric; Seyfaddini, Sobhan; Viterbo, Claude Barcodes and area-preserving homeomorphisms, Geometry Topology, Volume 25 (2021) no. 6, p. 2713 | DOI:10.2140/gt.2021.25.2713
  • CONEJEROS, JONATHAN The local rotation set is an interval, Ergodic Theory and Dynamical Systems, Volume 38 (2018) no. 7, p. 2571 | DOI:10.1017/etds.2016.129
  • RIBÓN, JAVIER Fixed points of nilpotent actions on, Ergodic Theory and Dynamical Systems, Volume 36 (2016) no. 1, p. 173 | DOI:10.1017/etds.2014.58
  • YAN, JINGZHI Existence of periodic points near an isolated fixed point with Lefschetz index one and zero rotation for area preserving surface homeomorphisms, Ergodic Theory and Dynamical Systems, Volume 36 (2016) no. 7, p. 2293 | DOI:10.1017/etds.2015.18
  • Graff, Grzegorz; Ruiz-Herrera, Alfonso A Strategy to Locate Fixed Points and Global Perturbations of ODE’s: Mixing Topology with Metric Conditions, Journal of Dynamics and Differential Equations, Volume 26 (2014) no. 1, p. 93 | DOI:10.1007/s10884-013-9345-y

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