[Convergence accélérée vers l'équilibre et variance asymptotique réduite pour la dynamique de Langevin à l'aide de perturbations de Stratonovich]
Dans cet article, nous proposons une nouvelle approche pour l'échantillonnage de mesures invariantes dans des espaces de grandes dimensions à l'aide d'une dynamique de Langevin perturbée. En modifiant la dynamique standard de l'équation de Langevin suramortie en introduisant une perturbation de Stratonovich convenable préservant la mesure invariante du système initial, nous montrons qu'il est possible d'obtenir une convergence accélérée vers l'équilibre et une variance asymptotique réduite, conduisant ainsi à un algorithme d'échantillonnage avantageux du point de vue du calcul. La nouvelle dynamique de Langevin perturbée est réversible par rapport à la mesure de probabilité cherchée et ne souffre donc pas des inconvénients des échantillonneurs de Langevin non réversibles introduits dans C.-R. Hwang et al. (1993) [1] et étudiés, par exemple, dans T. Lelièvre et al. (2013) [2] et A.B. Duncan et al. (2016) [3], tout en conservant tous leurs avantages en termes de convergence accélérée et de réduction de la variance asymptotique. En particulier, la réversibilité de la dynamique garantit l'absence de comportement transitoire oscillant. Les performances améliorées de la méthodologie proposée par rapport à la dynamique de Langevin suramortie standard et à sa perturbation irréversible sont illustrées par un exemple d'échantillonnage à partir d'une distribution gaussienne déformée à deux dimensions.
In this paper, we propose a new approach for sampling from probability measures in, possibly, high-dimensional spaces. By perturbing the standard overdamped Langevin dynamics by a suitable Stratonovich perturbation that preserves the invariant measure of the original system, we show that accelerated convergence to equilibrium and reduced asymptotic variance can be achieved, leading, thus, to a computationally advantageous sampling algorithm. The new perturbed Langevin dynamics is reversible with respect to the target probability measure and, consequently, does not suffer from the drawbacks of the nonreversible Langevin samplers that were introduced in C.-R. Hwang et al. (1993) [1] and studied in, e.g., T. Lelièvre et al. (2013) [2] and A.B. Duncan et al. (2016) [3], while retaining all of their advantages in terms of accelerated convergence and reduced asymptotic variance. In particular, the reversibility of the dynamics ensures that there is no oscillatory transient behaviour. The improved performance of the proposed methodology, in comparison to the standard overdamped Langevin dynamics and its nonreversible perturbation, is illustrated on an example of sampling from a two-dimensional warped Gaussian target distribution.
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Abdulle, Assyr; Pavliotis, Grigorios A.; Vilmart, Gilles. Accelerated convergence to equilibrium and reduced asymptotic variance for Langevin dynamics using Stratonovich perturbations. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 357 (2019) no. 4, pp. 349-354. doi : 10.1016/j.crma.2019.04.008. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2019.04.008/
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