[Une note sur les monades et les catégories triangulées de spectres en modules]
On considère une monade sur une catégorie triangulée, idempotente-complète, avec la propriété que la catégorie de Eilenberg–Moore des modules hérite d'une triangulation. Nous montrons que toute autre adjonction triangulée réalisant cette monade est essentiellement « monadique », c'est-à-dire qu'elle devient monadique après avoir pris le quotient de Verdier par le noyau de l'adjoint à droite et la complétion idempotente. En ce sens, la monade elle-même est « intrinsèquement monadique ». Il s'ensuit que, pour tout spectre en anneaux hautement structuré, sa catégorie des modules d'homotopie (dits aussi naïfs) est triangulée si et seulement si elle est équivalente à sa catégorie des modules hautement structurés (dits aussi stricts).
Consider a monad on an idempotent complete triangulated category with the property that its Eilenberg–Moore category of modules inherits a triangulation. We show that any other triangulated adjunction realizing this monad is ‘essentially monadic’, i.e. becomes monadic after performing the two evident necessary operations of taking the Verdier quotient by the kernel of the right adjoint and idempotent completion. In this sense, the monad itself is ‘intrinsically monadic’. It follows that for any highly structured ring spectrum, its category of homotopy (aka naïve) modules is triangulated if and only if it is equivalent to its category of highly structured (aka strict) modules.
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Dell'Ambrogio, Ivo; Sanders, Beren. A note on triangulated monads and categories of module spectra. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 356 (2018) no. 8, pp. 839-842. doi : 10.1016/j.crma.2018.06.007. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2018.06.007/
[1] Separability and triangulated categories, Adv. Math., Volume 226 (2011) no. 5, pp. 4352-4372
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[3] Idempotent completion of triangulated categories, J. Algebra, Volume 236 (2001) no. 2, pp. 819-834
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[5] Strict modules and homotopy modules in stable homotopy, Homol. Homotopy Appl., Volume 7 (2005) no. 1, pp. 39-49
[6] Levelwise modules over separable monads on stable derivators, J. Pure Appl. Algebra, Volume 222 (2018) no. 7, pp. 1704-1726
[7] Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics, vol. 5, Springer-Verlag, New York, 1998
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