Notes on the convergence order of gradient schemes for time fractional differential equations

Bradji, Abdallah

doi:10.1016/j.crma.2018.02.006

Numerical analysis

Notes on the convergence order of gradient schemes for time fractional differential equations
[Notes sur l'ordre de convergence de la méthode GD pour les équations fractionnaires en temps]

Présenté par : Olivier Pironneau

Bradji, Abdallah ¹

¹ Department of Mathematics, University of Annaba, Algeria

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 356 (2018) no. 4, pp. 439-448.

Résumé
Abstract

On considère la méthode GD (Gradient Discretization), développée récemment, comme discrétisation dans l'espace pour les équations de diffusion et d'onde fractionnaires en temps avec une dérivée fractionnaire de type Caputo pour toute dimension d'espace. Le temps est discrétisé en intervalles de pas constant.

Dans le cas des équations de diffusion fractionnaires en temps, nous construisons un schéma implicite et nous prouvons une estimation d'erreur dans la norme $L^{\infty} (L^{2})$ . Un résultat similaire dans la norme $L^{\infty} (H_{0}^{1})$ -norm a également été affirmé.

Pour construire le schéma numérique pour l'équation d'onde fractionnaire en temps, on écrit l'équation sous la forme d'un système de deux équations d'ordre plus bas. Nous construisons un schéma implicite, et nous donnons une estimation a priori qui nous permet de montrer des estimations d'erreur dans les semi-normes de $L^{\infty} (H^{1})$ et $H^{1} (L^{2})$ . La convergence est inconditionnelle. Un autre schéma a également été suggéré. Nous présentons ses résultats de convergence, qui améliorent l'ordre de convergence d'un schéma SUSHI prouvé récemment.

Les résultats obtenus sont alors valables pour tous les schémas particuliers de GDM : éléments finis, éléments finis mixtes, famille mimétique mixte hybride, quelques schémas de volumes finis multi-points et quelques schémas de Galerkin discontinus.

We apply the GDM (Gradient Discretization Method), developed recently, as discretization in space to time-fractional diffusion and diffusion-wave equations with a fractional derivative of Caputo type in any space dimension.

In the case of time-fractional diffusion equations, we establish an implicit scheme, and we prove an $L^{\infty} (L^{2})$ -error estimate. A similar result in a discrete $L^{\infty} (H_{0}^{1})$ –norm is also stated.

To construct the numerical scheme for the time-fractional diffusion-wave equation, we write the equation in the form of a system of two low-order equations. We state an a prior estimate result that helps us to derive error estimates in discrete semi-norms of $L^{\infty} (H^{1})$ and $H^{1} (L^{2})$ . The convergence is unconditional. Another gradient scheme is also suggested. We state its convergence results, which improve the convergence order proved recently for a SUSHI scheme.

These results hold then for all the schemes within the framework of GDM: conforming and nonconforming finite element, mixed finite element, hybrid mixed mimetic family, some Multi-Point Flux approximation finite volume schemes, and some discontinuous Galerkin schemes.

Reçu le : 2017-09-08
Accepté le : 2018-02-08
Publié le : 2018-03-02

DOI : 10.1016/j.crma.2018.02.006

Affiliations des auteurs :

Bradji, Abdallah ¹

¹ Department of Mathematics, University of Annaba, Algeria

@article{CRMATH_2018__356_4_439_0,
     author = {Bradji, Abdallah},
     title = {Notes on the convergence order of gradient schemes for time fractional differential equations},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {439--448},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {356},
     number = {4},
     year = {2018},
     doi = {10.1016/j.crma.2018.02.006},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2018.02.006/}
}

TY  - JOUR
AU  - Bradji, Abdallah
TI  - Notes on the convergence order of gradient schemes for time fractional differential equations
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2018
SP  - 439
EP  - 448
VL  - 356
IS  - 4
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2018.02.006/
DO  - 10.1016/j.crma.2018.02.006
LA  - en
ID  - CRMATH_2018__356_4_439_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Bradji, Abdallah
%T Notes on the convergence order of gradient schemes for time fractional differential equations
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2018
%P 439-448
%V 356
%N 4
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2018.02.006/
%R 10.1016/j.crma.2018.02.006
%G en
%F CRMATH_2018__356_4_439_0

Bradji, Abdallah. Notes on the convergence order of gradient schemes for time fractional differential equations. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 356 (2018) no. 4, pp. 439-448. doi : 10.1016/j.crma.2018.02.006. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2018.02.006/

Bibliographie
Cité par

[1] Bradji, A. Some convergence results of a multi-dimensional finite volume scheme for a time-fractional diffusion-wave equation, FVCA 2017 (Cancès, C.; Omnes, P., eds.) (Springer Proceedings in Mathematics and Statistics), Volume vol. 199, Springer, Cham, Switzerland (2017), pp. 391-399

[2] A. Bradji, Convergence and convergence rate of gradient schemes for time-fractional partial differential equations, In preparation.

[3] Bradji, A.; Fuhrmann, J. Convergence order of a finite volume scheme for the time-fractional diffusion equation, NAA 2016 (Dimov, I.; Faragó, I.; Vulkov, L., eds.) (Lecture Notes in Computer Science), Volume vol. 10187, Springer, Cham, Switzerland (2016), pp. 33-45

[4] Brenner, K.; Hennicker, J.; Masson, R.; Samier, P. Gradient discretization of hybrid-dimensional Darcy flow in fractured porous media with discontinuous pressures at matrix-fracture interfaces, IMA J. Numer. Anal., Volume 37 (2017), pp. 1551-1585

[5] Droniou, J.; Eymard, R.; Gallouët, T.; Guichard, C.; Herbin, R. Gradient discretisation method: a framework for the discretisation and numerical analysis of linear and nonlinear elliptic and parabolic problems, 2016 | arXiv

[6] Droniou, J.; Eymard, R.; Gallouët, T.; Guichard, C.; Herbin, R. An error estimate for the approximation of linear parabolic equations by the gradient discretization method, FVCA 2017 (Cancès, C.; Omnes, P., eds.) (Springer Proceedings in Mathematics and Statistics), Volume vol. 199, Springer, Cham, Switzerland (2017), pp. 371-379

[7] Eymard, R.; Guichard, C. DGM, an item of GDM, FVCA 2017 (Cancès, C.; Omnes, P., eds.) (Springer Proceedings in Mathematics and Statistics), Volume vol. 199, Springer, Cham, Switzerland (2017), pp. 321-329

[8] Eymard, R.; Gallouët, T.; Herbin, R. Discretization of heterogeneous and anisotropic diffusion problems on general nonconforming meshes SUSHI: a scheme using stabilization and hybrid interfaces, IMA J. Numer. Anal., Volume 30 (2010), pp. 1009-1043

[9] Jin, B.; Lazarov, R.; Liu, Y.; Zhou, Z. The Galerkin finite element method for a multi-term time-fractional diffusion equation, J. Comput. Phys., Volume 281 (2015), pp. 825-843

[10] Jin, B.; Lazarov, R.; Zhou, Z. Two fully discrete schemes for fractional diffusion and diffusion-wave equations with nonsmooth data, SIAM J. Sci. Comput., Volume 38 (2016), p. A146-A170

[11] Karaa, S.; Mustapha, K.; Pani, A.K. Finite volume element method for two-dimensional fractional subdiffusion problems, IMA J. Numer. Anal., Volume 37 (2017), pp. 945-964

[12] Li, L.; Xu, D.; Luo, M. Alternating direction implicit Galerkin finite element method for the two-dimensional fractional diffusion-wave equation, J. Comput. Phys., Volume 255 (2013), pp. 471-485

[13] Lin, Y.; Xu, C. Finite difference/spectral approximations for the time-fractional diffusion equation, J. Comput. Phys., Volume 225 (2007), pp. 1533-1552

[14] Mustapha, K.; Abdallah, B.; Furati, K.M.; Nour, M. A discontinuous Galerkin method for time-fractional diffusion equations with variable coefficients, Numer. Algorithms, Volume 73 (2016), pp. 517-534

[15] Simmons, A.; Yang, Q.; Moroney, T. A finite volume method for two-sided fractional diffusion equations on non-uniform meshes, J. Comput. Phys., Volume 335 (2017), pp. 747-759

[16] Sun, Z.-Z.; Wu, X. A fully discrete difference scheme for a diffusion–wave system, Appl. Numer. Math., Volume 56 (2006), pp. 193-209

[17] Zhao, Y.; Chen, P.; Bu, W.; Liu, X.; Tang, Y. Two mixed finite element methods for time-fractional diffusion equations, J. Sci. Comput., Volume 70 (2017), pp. 407-428

Cité par Sources :