[Sur les problèmes paraboliques à valeur finale bien posés]
Nous prouvons que les problèmes à valeur finale sont bien posés pour une large classe d'opérateurs differentiels paraboliques. Ceci est obtenu via un espace de Hilbert qui caractérise l'existence des données impliquant l'existence, l'unicité et la stabilité des solutions. Cet espace de données est le domaine d'un opérateur non borné muni de la norme du graphe, qui représente une nouvelle condition de compatibilité pertinente pour les problèmes à valeur finale. Le cadre est celui des équations d'évolution pour des opérateurs de Lax–Milgram dans des espaces de distributions vectorielles. Nous étudions aussi le problème à valeur finale pour l'équation de la chaleur sur un ouvert lisse ; pour des données de Dirichlet non nulles, nous obtenons une extension non triviale de la condition de compatibilité par l'addition d'une intégrale de Bochner impropre.
We prove that a large class of parabolic final value problems is well posed. This results via explicit Hilbert spaces that characterise the data yielding existence, uniqueness and stability of solutions. This data space is the graph normed domain of an unbounded operator, which represents a new compatibility condition pertinent for final value problems. The framework is that of evolution equations for Lax–Milgram operators in vector distribution spaces. The final value heat equation on a smooth open set is also covered, and for non-zero Dirichlet data, a non-trivial extension of the compatibility condition is obtained by addition of an improper Bochner integral.
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Christensen, Ann-Eva; Johnsen, Jon. On parabolic final value problems and well-posedness. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 356 (2018) no. 3, pp. 301-305. doi : 10.1016/j.crma.2018.01.019. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2018.01.019/
[1] On the spectrum of non-selfadjoint Schrödinger operators with compact resolvent, Commun. Partial Differ. Equ., Volume 40 (2015) no. 8, pp. 1441-1466
[2] Linear and Quasilinear Parabolic Problems, Vol. I, Abstract Linear Theory, Monographs in Mathematics, vol. 89, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, USA, 1995
[3] Final value problems for parabolic differential equations and their well-posedness, 2017 (preprint) | arXiv
[4] On the spectral properties of the Bloch–Torrey operator in two dimensions, 2016 | arXiv
[5] The complex Airy operator on the line with a semipermeable barrier, SIAM J. Math. Anal., Volume 49 (2017) no. 3, pp. 1844-1894
[6] Solution of parabolic pseudo-differential initial-boundary value problems, J. Differ. Equ., Volume 87 (1990), pp. 256-304
[7] Inverse Problems for Partial Differential Equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 127, Springer-Verlag, New York, 1998
[8] On unbounded hyponormal operators III, Stud. Math., Volume 112 (1994), pp. 75-82
[9] Numerical solution of the equation of heat conduction for preceding times, Ann. Mat. Pura Appl. (4), Volume 40 (1955), pp. 129-142
[10] Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications. Vol. I, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 181, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1972 (translated from the French by P. Kenneth, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 181)
[11] Sur l'unicité rétrograde dans les problèmes mixtes parabolic, Math. Scand., Volume 8 (1960), pp. 227-286
[12] A well posed problem for the backward heat equation, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 12 (1961), pp. 243-247
[13] The final value problem for evolution equations, J. Math. Anal. Appl., Volume 47 (1974), pp. 563-572
[14] Equations of Evolution, Monographs and Studies in Mathematics, vol. 6, Pitman, Boston, Mass, 1979 (translated from the Japanese by N. Mugibayashi and H. Haneda)
[15] Navier–Stokes Equations, Theory and Numerical Analysis, Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam, 1984
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