Nous donnons des résultats d'équidistribution d'éléments de corps de fonctions sur des corps finis, et d'irrationnels quadratiques sur ces corps, dans leurs corps locaux complétés. Nous déduisons ces résultats de théorèmes d'équidistribution de perpendiculaires communes dans des quotients d'arbres par des réseaux de leur groupe d'automorphismes, démontrés à l'aide de propriétés ergodiques du flot géodésique discret.
We give equidistribution results of elements of function fields over finite fields, and of quadratic irrationals over these fields, in their completed local fields. We deduce these results from equidistribution theorems of common perpendiculars in quotients of trees by lattices in their automorphism groups, proved by using ergodic properties of the discrete geodesic flow.
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Broise-Alamichel, Anne; Parkkonen, Jouni; Paulin, Frédéric. Équidistribution non archimédienne et actions de groupes sur les arbres. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 10, pp. 971-975. doi : 10.1016/j.crma.2016.08.001. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2016.08.001/
[1] A. Broise-Alamichel, J. Parkkonen, F. Paulin, Equidistribution and counting under equilibrium states in negatively curved spaces and graphs of groups. Applications to non-Archimedean Diophantine approximation. Livre en préparation.
[2] On the arithmetic of crossratios and generalised Mertens' formulas, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Volume 23 (2014), pp. 967-1022
[3] Groupes géométriquement finis d'automorphismes d'arbres et approximation diophantienne dans les arbres, Manuscr. Math., Volume 113 (2004), pp. 1-23
[4] J.-P. Serre, Arbres, amalgames, , 3 éd. corr, Astérisque, vol. 46, Soc. Math. France, 1983.
[5] On the analogue of the modular group in characteristic p (Browder, F., ed.), Functional Analysis and Related Fields (Chicago, 1968), Springer, 1970, pp. 211-223
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