An application of the symplectic argument to some Fermat-type equations

Freitas, Nuno; Kraus, Alain

doi:10.1016/j.crma.2016.06.002

Number theory

An application of the symplectic argument to some Fermat-type equations
[Une application du critère symplectique à quelques équations de Fermat]

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Freitas, Nuno ¹ ; Kraus, Alain ²

¹ University of British Columbia, Department of Mathematics, Vancouver, BC V6T 1Z2, Canada
² Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris 6), Institut de mathématiques de Jussieu, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 8, pp. 751-755.

Résumé
Abstract

Soit p un nombre premier. Au début des années 2000, il a été démontré que les équations de Fermat à coefficients

3 x^{p} + 8 y^{p} + 21 z^{p} = 0 et 3 x^{p} + 4 y^{p} + 5 z^{p} = 0

ne possèdent pas de solutions non triviales pour un ensemble d'exposants p de densité de Dirichlet 1/4 et 1/8, respectivement. Dans cette note, en utilisant un résultat récent permettant de décider si deux courbes elliptiques sur

Q

, ayant un certain type de réduction additive en 2, ont leurs modules des points de p-torsion symplectiquement isomorphes, on améliore ces densités à 3/8.

Let p be a prime number. In the early 2000s, it was proved that the Fermat equations with coefficients

3 x^{p} + 8 y^{p} + 21 z^{p} = 0 and 3 x^{p} + 4 y^{p} + 5 z^{p} = 0

do not admit non-trivial solutions for a set of exponents p with Dirichlet density 1/4 and 1/8, respectively. In this note, using a recent criterion to decide if two elliptic curves over

Q

with certain types of additive reduction at 2 have symplectically isomorphic p-torsion modules, we improve these densities to 3/8.

Reçu le : 2016-03-25
Accepté le : 2016-06-08
Publié le : 2016-07-12

DOI : 10.1016/j.crma.2016.06.002

Affiliations des auteurs :

Freitas, Nuno ¹ ; Kraus, Alain ²

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Freitas, Nuno; Kraus, Alain. An application of the symplectic argument to some Fermat-type equations. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 8, pp. 751-755. doi : 10.1016/j.crma.2016.06.002. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2016.06.002/

Bibliographie
Cité par

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[2] Freitas, N.; Siksek, S. Fermat's Last Theorem over some small real quadratic fields, Algebra Number Theory, Volume 9 (2015) no. 4, pp. 875-895

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[4] Kraus, A.; Oesterlé, J. Sur une question de B. Mazur, Math. Ann., Volume 293 (1992), pp. 259-275

[5] Serre, J.-P. Sur les représentations modulaires de degré 2 de $Gal (\overline{Q} / Q)$ , Duke Math. J., Volume 54 (1987), pp. 179-230

Cité par Sources :