Semi-regular varieties and variational Hodge conjecture

Dan, Ananyo; Kaur, Inder

doi:10.1016/j.crma.2016.01.005

Algebraic geometry

Semi-regular varieties and variational Hodge conjecture
[Variétés semi-régulières et conjecture de Hodge variationnelle]

Présenté par : Claire Voisin

Dan, Ananyo ¹ ; Kaur, Inder ²

¹ Humboldt Universität Zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, Berlin 10099, Germany
² Freie Universität Berlin, FB Mathematik und Informatik, Arnimallee 3, 14195 Berlin, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 3, pp. 297-300.

Résumé
Abstract

D'après [1,2] nous savons que les sous-variétés semi-régulières satisfont la conjecture de Hodge variationnelle, c'est-à-dire qu'étant données une famille de variétés projectives lisses $π : X \to B$ , une fibre spéciale $X_{o}$ et une sous-variété semi-régulière $Z \subset X_{o}$ , la classe de cohomologie correspondant à Z reste une classe de Hodge si et seulement si Z reste un cycle algébrique (lorsque $X_{o}$ se déforme le long de B). Nous étudions ici des exemples de telles sous-variétés. En particulier, nous montrons que toute variété projective lisse Z de dimension n est une sous-variété semi-régulière d'une hypersurface projective lisse de $P^{2 n + 1}$ de degré suffisamment grand.

Following [1,2], we know that semi-regular sub-varieties satisfy the variational Hodge conjecture, i.e., given a family of smooth projective varieties $π : X \to B$ , a special fiber $X_{o}$ and a semi-regular subvariety $Z \subset X_{o}$ , the cohomology class corresponding to Z remains a Hodge class (as $X_{o}$ deforms along B) if and only if Z remains an algebraic cycle. In this article, we investigate examples of such sub-varieties. In particular, we prove that any smooth projective variety Z of dimension n is a semi-regular sub-variety of a smooth projective hypersurface in $P^{2 n + 1}$ of large enough degree.

Reçu le : 2015-12-18
Accepté le : 2016-01-20
Publié le : 2016-02-09

DOI : 10.1016/j.crma.2016.01.005

Affiliations des auteurs :

Dan, Ananyo ¹ ; Kaur, Inder ²

¹ Humboldt Universität Zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, Berlin 10099, Germany
² Freie Universität Berlin, FB Mathematik und Informatik, Arnimallee 3, 14195 Berlin, Germany

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Dan, Ananyo; Kaur, Inder. Semi-regular varieties and variational Hodge conjecture. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 354 (2016) no. 3, pp. 297-300. doi : 10.1016/j.crma.2016.01.005. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2016.01.005/

Bibliographie
Cité par

[1] Bloch, S. Semi-regularity and de-Rham cohomology, Invent. Math., Volume 17 (1972), pp. 51-66

[2] Buchweitz, R.-O.; Flenner, H. A semiregularity map for modules and applications to deformations, Compos. Math., Volume 137 (2003) no. 2, pp. 135-210

[3] Kleiman, S.L.; Altman, A.B. Bertini's theorem for hypersurface sections containing a subscheme, Commun. Algebra, Volume 7 (1979) no. 8, pp. 775-790

[4] Kodaira, K.; Spencer, D.C. A theorem of completeness of characteristic systems of complete continuous systems, Amer. J. Math., Volume 81 (1959) no. 2, pp. 477-500

[5] Severi, F. Sul teorema fondamentale dei sistemi continui di curve sopra una superficie algebrica, Ann. Mat. Pura Appl., Volume 23 (1944) no. 4, pp. 149-181

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