Une inégalité de Korn non linéaire dans $ {W}^{2,p}$, $ p>n$

Ciarlet, Philippe G.; Mardare, Sorin

doi:10.1016/j.crma.2015.07.009

Équations aux dérivées partielles/Problèmes mathématiques de la mécanique

Une inégalité de Korn non linéaire dans

W^{2, p}

p > n

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Ciarlet, Philippe G.¹ ; Mardare, Sorin ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem, Université de Rouen, avenue de l'Université, BP 12, Technopôle du Madrillet, 76801 Saint-Étienne-du-Rouvray, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 10, pp. 905-911.

Résumé
Abstract

Soit Ω un ouvert borné connexe de $R^{n}$ satisfaisant la propriété du cône intérieur uniforme et soit $p > n$ . On établit une inégalité de Korn non linéaire dans $W^{2, p}$ , qui fournit une borne supérieure de la norme ${‖ \cdot ‖}_{W^{2, p} (Ω)}$ de la différence entre deux immersions $φ \in W^{2, p} (Ω)$ et $\tilde{φ} \in W^{2, p} (Ω)$ en fonction de la norme ${‖ \cdot ‖}_{W^{1, p} (Ω)}$ de la différence entre leurs tenseurs métriques associés $\nabla φ^{T} \nabla φ \in W^{1, p} (Ω)$ et $\nabla {\tilde{φ}}^{T} \nabla \tilde{φ} \in W^{1, p} (Ω)$ .

Soit ensuite Ω un ouvert borné simplement connexe de $R^{n}$ à frontière lipschitzienne, l'ensemble Ω étant situé localement d'un seul côté de sa frontière. Utilisant l'inégalité de Korn non linéaire dans $W^{2, p}$ ci-dessus, on établit la Lipschitz-continuité locale de l'application $C \in W^{1, p} (Ω) \to φ \in W^{2, p} (Ω)$ , qui est bien définie lorsque les composantes du tenseur de courbure de Riemann associé à C s'annulent dans $D^{'} (Ω)$ , l'immersion $φ \in W^{2, p} (Ω)$ étant la solution, unique à une isométrie de $E^{n}$ près, de l'équation $\nabla φ^{T} \nabla φ = C$ dans Ω.

Let Ω be a bounded and connected open subset of $R^{n}$ that satisfies the uniform interior cone property and let $p > n$ . We establish a nonlinear Korn inequality in $W^{2, p}$ , which provides an upper bound of the ${‖ \cdot ‖}_{W^{2, p} (Ω)}$ -norm of the difference between two immersions $φ \in W^{2, p} (Ω)$ and $\tilde{φ} \in W^{2, p} (Ω)$ in terms of the ${‖ \cdot ‖}_{W^{1, p} (Ω)}$ -norm of the difference between their associated metric tensors $\nabla φ^{T} \nabla φ \in W^{1, p} (Ω)$ and $\nabla {\tilde{φ}}^{T} \nabla \tilde{φ} \in W^{1, p} (Ω)$ .

Second, let Ω be a bounded, simply-connected, open subset of $R^{n}$ with a Lipschitz boundary, the set Ω being locally on the same side of its boundary. Using the above nonlinear Korn inequality in $W^{2, p}$ , we establish the local Lipschitz-continuity of the mapping $C \in W^{1, p} (Ω) \to φ \in W^{2, p} (Ω)$ , which is well-defined when the components of the Riemann curvature tensor associated with C vanish in $D^{'} (Ω)$ , the immersion $φ \in W^{2, p} (Ω)$ being the solution, unique up to an isometry of $E^{n}$ , of the equation $\nabla φ^{T} \nabla φ = C$ in Ω.

Reçu le : 2015-07-22
Accepté le : 2015-07-23
Publié le : 2015-08-24

DOI : 10.1016/j.crma.2015.07.009

Affiliations des auteurs :

Ciarlet, Philippe G. ¹ ; Mardare, Sorin ²

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Ciarlet, Philippe G.; Mardare, Sorin. Une inégalité de Korn non linéaire dans $ {W}^{2,p}$, $ p>n$. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 10, pp. 905-911. doi : 10.1016/j.crma.2015.07.009. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.07.009/

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