Équations aux dérivées partielles/Problèmes mathématiques de la mécanique
Une inégalité de Korn non linéaire dans W2,p, p>n
[A nonlinear Korn inequality in W2,p, p>n]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 10, pp. 905-911.

Let Ω be a bounded and connected open subset of Rn that satisfies the uniform interior cone property and let p>n. We establish a nonlinear Korn inequality in W2,p, which provides an upper bound of the W2,p(Ω)-norm of the difference between two immersions φW2,p(Ω) and φ˜W2,p(Ω) in terms of the W1,p(Ω)-norm of the difference between their associated metric tensors φTφW1,p(Ω) and φ˜Tφ˜W1,p(Ω).

Second, let Ω be a bounded, simply-connected, open subset of Rn with a Lipschitz boundary, the set Ω being locally on the same side of its boundary. Using the above nonlinear Korn inequality in W2,p, we establish the local Lipschitz-continuity of the mapping CW1,p(Ω)φW2,p(Ω), which is well-defined when the components of the Riemann curvature tensor associated with C vanish in D(Ω), the immersion φW2,p(Ω) being the solution, unique up to an isometry of En, of the equation φTφ=C in Ω.

Soit Ω un ouvert borné connexe de Rn satisfaisant la propriété du cône intérieur uniforme et soit p>n. On établit une inégalité de Korn non linéaire dans W2,p, qui fournit une borne supérieure de la norme W2,p(Ω) de la différence entre deux immersions φW2,p(Ω) et φ˜W2,p(Ω) en fonction de la norme W1,p(Ω) de la différence entre leurs tenseurs métriques associés φTφW1,p(Ω) et φ˜Tφ˜W1,p(Ω).

Soit ensuite Ω un ouvert borné simplement connexe de Rn à frontière lipschitzienne, l'ensemble Ω étant situé localement d'un seul côté de sa frontière. Utilisant l'inégalité de Korn non linéaire dans W2,p ci-dessus, on établit la Lipschitz-continuité locale de l'application CW1,p(Ω)φW2,p(Ω), qui est bien définie lorsque les composantes du tenseur de courbure de Riemann associé à C s'annulent dans D(Ω), l'immersion φW2,p(Ω) étant la solution, unique à une isométrie de En près, de l'équation φTφ=C dans Ω.

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DOI: 10.1016/j.crma.2015.07.009
Ciarlet, Philippe G. 1; Mardare, Sorin 2

1 Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
2 Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem, Université de Rouen, avenue de l'Université, BP 12, Technopôle du Madrillet, 76801 Saint-Étienne-du-Rouvray, France
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Ciarlet, Philippe G.; Mardare, Sorin. Une inégalité de Korn non linéaire dans $ {W}^{2,p}$, $ p>n$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 10, pp. 905-911. doi : 10.1016/j.crma.2015.07.009. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.07.009/

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