Cette note montre comment on peut obtenir le mouvement brownien comme limite hydrodynamique d'un système déterministe de sphères dures quand le nombre de particules N tend vers l'infini et que leur diamètre ε tend vers 0, dans la limite de relaxation rapide (avec un choix d'échelles de temps et d'espace convenable). Comme suggéré par Hilbert dans son sixième problème, on utilise la théorie cinétique de Boltzmann comme niveau de description intermédiaire. La preuve suit les idées fondamentales de Lanford sur la propagation du chaos. La principale nouveauté réside dans l'obtention d'estimations sur les arbres de collision pathologiques par une étude fine du processus de branchement.
We provide a rigorous derivation of the Brownian motion as the hydrodynamic limit of a deterministic system of hard spheres as the number of particles N goes to infinity and their diameter ε simultaneously goes to 0, in the fast relaxation limit (with a suitable scaling of the observation time and length). As suggested by Hilbert in his sixth problem, we use Boltzmann's kinetic theory as an intermediate level of description for the gas close to global equilibrium. Our proof relies on the fundamental ideas of Lanford. The main novelty is the detailed study of the branching process, leading to explicit estimates of pathological collision trees.
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Bodineau, Thierry; Gallagher, Isabelle; Saint-Raymond, Laure. Limite de diffusion linéaire pour un système déterministe de sphères dures. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 5, pp. 411-419. doi : 10.1016/j.crma.2014.02.011. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2014.02.011/
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