A characterization of balanced manifolds

Alessandrini, Lucia

doi:10.1016/j.crma.2014.02.004

Differential geometry

A characterization of balanced manifolds
[Une caractérisation des variétés semi-kählériennes]

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

Alessandrini, Lucia ¹

¹ Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Parma, Parma, Italy

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 4, pp. 345-350.

Résumé
Abstract

Une métrique hermitienne de forme fondamentale ω sur une variété complexe M est kählérienne si et seulement s'il existe un système de cordonnées z sur un voisinage de chaque point de M, tel que la composante linéaire de $ω_{i, j} (z)$ s'annule. On montre ici un critère de semi-kählérianité, à savoir qu'une métrique hermitienne de forme ω sur M est semi-kählérienne si et seulement s'il existe un système de cordonnées z sur un voisinage de chaque point de M, tel que la part linéaire de $ω_{i, j} (z)$ ne contienne pas $z_{i}, z_{j}, \bar{z_{i}}, \bar{z_{j}}$ , et que la trace de ω soit fermée.

A Hermitian metric on a complex manifold is Kähler if and only if it approximates the Euclidean metric to order 2 at each point, in a suitable coordinate system. We prove here an analogous characterization of balanced metrics, namely, a Hermitian metric is balanced if and only if its fundamental form ω has closed trace and $ω_{i, j} (z)$ does not contain linear terms involving $z_{i}, z_{j}, \bar{z_{i}}, \bar{z_{j}}$ , for each point, in a suitable coordinate system.

Reçu le : 2014-01-28
Accepté le : 2014-02-07
Publié le : 2014-02-26

DOI : 10.1016/j.crma.2014.02.004

Affiliations des auteurs :

Alessandrini, Lucia ¹

¹ Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Parma, Parma, Italy

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Alessandrini, Lucia. A characterization of balanced manifolds. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 4, pp. 345-350. doi : 10.1016/j.crma.2014.02.004. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2014.02.004/

Bibliographie
Cité par

[1] Alessandrini, L.; Bassanelli, G. Metric properties of manifolds bimeromorphic to compact Kähler spaces, J. Differ. Geom., Volume 37 (1993), pp. 95-121

[2] Alessandrini, L.; Bassanelli, G. Wedge product of positive currents and balanced manifolds, Tohoku Math. J., Volume 60 (2008), pp. 123-134

[3] Demailly, J.-P. Complex Analytic and Differential Geometry http://www.fourier.ujf_grenoble.fr/demailly/books.html (free accessible book)

[4] Griffiths, P.; Harris, J. Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1978

[5] Michelson, M.L. On the existence of special metrics in complex geometry, Acta Math., Volume 143 (1983), pp. 261-295

Cité par Sources :