[Mouvement en dimension 3 d'un solide en grandes déformations]
On étudie en dimension 3 le mouvement d'un solide en grandes déformations. Ce solide peut être chargé par des pointes, des fils, des poutres, des coques… Cela nous conduit à retenir une théorie du troisième gradient dans le solide. La matrice d'élongation qui apparaît dans la décomposition polaire doit être symétrique. Cette liaison interne introduit une contrainte de réaction qui contribue à la contrainte de Piola–Kirchhoff–Boussinesq. On montre alors qu'il existe un mouvement qui satisfait toutes les équations de la Mécanique dans un cadre variationnel convenable. Ce mouvement est local en temps, car il peut être interrompu par un écrasement provoquant une discontinuité de vitesse par rapport au temps, c'est-à-dire une collision interne.
We study in dimension 3 the motion of a solid with large deformations. The solid may be loaded on its surface by needles, rods, beams, shells, etc. Therefore, it is wise to choose a third gradient theory for the body. It is known that the stretch matrix of the polar decomposition has to be symmetric. This is an internal constraint, which introduces a reaction stress in the Piola–Kirchhoff–Boussinesq stress. We prove that there exists a motion that satisfies the complete equations of Mechanics in a convenient variational framework. This motion is local-in-time for it may be interrupted by a crushing, which entails a discontinuity of velocity with respect to time, i.e., an internal collision.
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Bonetti, Elena; Colli, Pierluigi; Frémond, Michel. The 3D motion of a solid with large deformations. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 3, pp. 183-187. doi : 10.1016/j.crma.2014.01.007. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2014.01.007/
[1] The motion of a solid with large deformations, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 351 (2013), pp. 579-583
[2] Collisions, Edizioni del Dipartimento di Ingegneria Civile dell'Università di Roma “Tor Vergata”, Roma, 2007 (ISBN: 978-88-6296-000-7)
[3] Grandes déformations et comportements extrêmes, C. R. Mecanique, Volume 337 (2009) no. 1, pp. 24-29
[4] Équilibre d'un solide élastique en grandes déformations, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 347 (2009), pp. 457-462
[5] Sur l'équation tensorielle AX + XA = H, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A–B, Volume 286 (1978), p. A71-A73
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