Sur la répartition des puissances modulo 1

Kahane, Jean-Pierre

doi:10.1016/j.crma.2013.12.014

Analyse mathématique

Sur la répartition des puissances modulo 1

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Kahane, Jean-Pierre

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 5, pp. 383-385.

Résumé
Abstract

L'ensemble des $x > 1$ tels que $(x^{n})$ $(n = 1, 2, \dots)$ n'est pas équidistribué modulo 1, qui est de mesure nulle, est de dimension 1. Cela découle du fait suivant : quelle que soit la suite $(b_{n})$ dans $[0, 1 [$ , et $ε > 0$ , l'ensemble des x tels que $x^{n}$ est ε-proche de $b_{n}$ modulo 1 à partir d'un certain rang a pour dimension 1. Mais cet ensemble, limité à un intervalle $[1, X]$ , a une dimension qui dépend de ε et de X. C'est l'objet de quelques propositions et d'une question ouverte.

For almost all $x > 1$ , $(x^{n})$ $(n = 1, 2, \dots)$ is equidistributed modulo 1, a classical result. What can be said on the exceptional set? It has Hausdorff dimension one. Much more: given an $(b_{n})$ in $[0, 1 [$ and $ε > 0$ , the x-set such that $| x^{n} - b_{n} | < ε$ modulo 1 for n large enough has dimension 1. However, its intersection with an interval $[1, X]$ has a dimension <1, depending on ε and X. Some results are given and a question is proposed.

Reçu le : 2013-12-15
Accepté le : 2013-12-19
Publié le : 2014-03-21

DOI : 10.1016/j.crma.2013.12.014

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Kahane, Jean-Pierre. Sur la répartition des puissances modulo 1. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 5, pp. 383-385. doi : 10.1016/j.crma.2013.12.014. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.12.014/

Bibliographie
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