Probabilités
Asymptotique des valeurs extrêmes pour les marches aléatoires affines
[Extreme-value asymptotics for affine random walks]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 17-18, pp. 703-705.

We consider the Euclidean space Rd and an affine random walk Xn on Rd, governed by a probability λ supported on the affine group H=Aff(Rd). We assume that the subgroup of H generated by the support of λ is “large” and that convolution by λ on Rd has a unique stationary probability η such that its support is unbounded. We show the convergence in law of certain point processes associated with the extreme values of Xn. The parameters of the limit laws are expressed in terms of a homogeneous measure Λ on Rd{0}, which describes the shape at infinity of η, and which depends essentially on the projection of λ on the linear group of Rd. In particular, the normalized extreme values of |Xn| follow a Fréchet law depending on Λ in a simple way.

Nous considérons lʼespace Euclidien Rd et une marche aléatoire affine Xn sur Rd, gouvernée par une probabilité λ portée par le groupe affine H=Aff(Rd). Nous supposons que le sous-groupe de H engendré par le support de λ est « grand » et que la convolution par λ sur Rd admet une unique probabilité stationnaire η dont le support est non borné. Nous montrons la convergence en loi de certains processus ponctuels associés aux valeurs extrêmes de Xn. Les paramètres des lois limites sʼexpriment à lʼaide dʼune mesure homogène Λ sur Rd{0}, qui décrit lʼallure à lʼinfini de η et qui dépend essentiellement de la projection de λ sur le groupe linéaire de Rd. En particulier, les valeurs extrêmes normalisées de |Xn| suivent une loi de Fréchet, qui dépend simplement de Λ.

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DOI: 10.1016/j.crma.2013.09.017
Guivarcʼh, Yves 1; Le Page, Émile 2

1 IRMAR, université de Rennes-1, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France
2 LMBA, UMR CNRS 6205, Université de Bretagne-Sud, campus de Tohannic, 56017 Vannes, France
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Guivarcʼh, Yves; Le Page, Émile. Asymptotique des valeurs extrêmes pour les marches aléatoires affines. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 17-18, pp. 703-705. doi : 10.1016/j.crma.2013.09.017. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.09.017/

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