Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the Cauchy–Green tensor field

Ciarlet, Philippe G.; Mardare, Cristinel

doi:10.1016/j.crma.2013.05.001

Mathematical Problems in Mechanics

Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the Cauchy–Green tensor field
[Expression de conditions aux limites de Dirichlet en fonction du champ de tenseurs de Cauchy–Green]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Ciarlet, Philippe G.¹ ; Mardare, Cristinel ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Université Pierre-et-Marie-Curie, laboratoire Jacques-Louis-Lions, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 351 (2013) no. 7-8, pp. 323-327.

Résumé
Abstract

Dans un travail antérieur, on a montré comment le champ $C : = {\nabla Φ}^{T} \nabla Φ \in W^{2, s} (Ω; S_{>}^{3})$ , $s > 3 / 2$ , des tenseurs de Cauchy–Green peut être considéré comme la seule inconnue dans le problème de Dirichlet homogène pour lʼélasticité non linéaire posé sur un domaine $Ω \subset R^{3}$ , au lieu de la déformation $Φ \in W^{3, s} (Ω; R^{3})$ dans lʼapproche habituelle. Lʼobjet de cette Note est de montrer que la même approche sʼapplique aussi bien au problème de Dirichlet–Neumann. À cette fin, nous montrons comment la condition aux limites $Φ = Φ_{0}$ sur une portion $Γ_{0}$ de la frontière de Ω peut être ré-écrite, à nouveau sous forme de conditions aux limites sur $Γ_{0}$ , mais exprimées cette fois uniquement en fonction de la nouvelle inconnue $C \in W^{2, s} (Ω; S_{>}^{3})$ .

In a previous work, it was shown how the Cauchy–Green tensor field $C : = {\nabla Φ}^{T} \nabla Φ \in W^{2, s} (Ω; S_{>}^{3})$ , $s > 3 / 2$ , can be considered as the sole unknown in the homogeneous Dirichlet problem of nonlinear elasticity posed over a domain $Ω \subset R^{3}$ , instead of the deformation $Φ \in W^{3, s} (Ω; R^{3})$ in the usual approach. The purpose of this Note is to show that the same approach applies as well to the Dirichlet–Neumann problem. To this end, we show how the boundary condition $Φ = Φ_{0}$ on a portion $Γ_{0}$ of the boundary of Ω can be recast, again as boundary conditions on $Γ_{0}$ , but this time expressed only in terms of the new unknown $C \in W^{2, s} (Ω; S_{>}^{3})$ .

Accepté le : 2013-05-03
Publié le : 2013-04-01

DOI : 10.1016/j.crma.2013.05.001

Affiliations des auteurs :

Ciarlet, Philippe G. ¹ ; Mardare, Cristinel ²

@article{CRMATH_2013__351_7-8_323_0,
     author = {Ciarlet, Philippe G. and Mardare, Cristinel},
     title = {Expression of {Dirichlet} boundary conditions in terms of the {Cauchy{\textendash}Green} tensor field},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {323--327},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {351},
     number = {7-8},
     year = {2013},
     doi = {10.1016/j.crma.2013.05.001},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.05.001/}
}

TY  - JOUR
AU  - Ciarlet, Philippe G.
AU  - Mardare, Cristinel
TI  - Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the Cauchy–Green tensor field
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2013
SP  - 323
EP  - 327
VL  - 351
IS  - 7-8
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.05.001/
DO  - 10.1016/j.crma.2013.05.001
LA  - en
ID  - CRMATH_2013__351_7-8_323_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Ciarlet, Philippe G.
%A Mardare, Cristinel
%T Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the Cauchy–Green tensor field
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2013
%P 323-327
%V 351
%N 7-8
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.05.001/
%R 10.1016/j.crma.2013.05.001
%G en
%F CRMATH_2013__351_7-8_323_0

Ciarlet, Philippe G.; Mardare, Cristinel. Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the Cauchy–Green tensor field. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 351 (2013) no. 7-8, pp. 323-327. doi : 10.1016/j.crma.2013.05.001. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.05.001/

Bibliographie
Cité par

[1] Aubin, T. Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry, Springer, Berlin, 2010

[2] Choquet-Bruhat, Y.; DeWitt-Morette, C.; Dillard-Bleick, M. Analysis, Manifolds, and Physics. Part I. Basics, North-Holland, Amsterdam, 1982

[3] Ciarlet, P.G. An Introduction to Differential Geometry with Applications to Elasticity, Springer, Dordrecht, 2005

[4] Ciarlet, P.G.; Mardare, C. On rigid and infinitesimal rigid displacements in shell theory, J. Math. Pures Appl., Volume 83 (2004), pp. 1-15

[5] Ciarlet, P.G.; Mardare, C. Existence theorems in intrinsic nonlinear elasticity, J. Math. Pures Appl., Volume 94 (2010), pp. 229-243

[6] Ciarlet, P.G.; Mardare, C. Boundary conditions in nonlinear intrinsic elasticity, J. Math. Pures Appl. (2013) (in press)

[7] Mardare, S. On Pfaff systems with $L^{p}$ coefficients and their applications in differential geometry, J. Math. Pures Appl., Volume 84 (2005), pp. 1659-1692

Cité par Sources :