Équations aux dérivées partielles/Analyse numérique
Approximation grossière dʼun problème elliptique à coefficients hautement oscillants
[Coarse approximation of an elliptic problem with highly oscillatory coefficients]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 7-8, pp. 265-270.

Our wish is to approximate an elliptic problem with highly oscillatory coefficients using a problem of the same type, but with constant coefficients. We deliberately take an engineering perspective, where the information on the oscillating coefficients in the equation can be incomplete or entirely missing. We investigate the links between this particular question and the classical theory of homogenization. On some illustrating examples we show the potential practical interest of the approach.

Nous nous posons la question de lʼapproximation dʼun problème elliptique à coefficients hautement oscillants par un problème de même type, mais avec des coefficients constants, en nous plaçant délibérément dans une perspective pratique (de lʼingénieur), où toutes les informations sur les coefficients de lʼéquation ne sont pas forcément disponibles. Nous étudions les liens entre cette problématique et la théorie classique de lʼhomogénéisation. Quelques cas pratiques simples sont examinés, sur lesquels on démontre lʼintérêt potentiel de lʼapproche.

Received:
Accepted:
Published online:
DOI: 10.1016/j.crma.2013.04.008
Le Bris, Claude 1, 2; Legoll, Frédéric 3, 2; Li, Kun 1

1 CERMICS, École des Ponts ParisTech, 77455 Marne-la-Vallée cedex 2, France
2 INRIA Rocquencourt, MICMAC project, domaine de Voluceau, BP 105, 78153 Le Chesnay cedex, France
3 Laboratoire Navier, École des Ponts ParisTech, 77455 Marne-la-Vallée cedex 2, France
@article{CRMATH_2013__351_7-8_265_0,
     author = {Le Bris, Claude and Legoll, Fr\'ed\'eric and Li, Kun},
     title = {Approximation grossi\`ere d'un probl\`eme elliptique \`a coefficients hautement oscillants},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {265--270},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {351},
     number = {7-8},
     year = {2013},
     doi = {10.1016/j.crma.2013.04.008},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.04.008/}
}
TY  - JOUR
AU  - Le Bris, Claude
AU  - Legoll, Frédéric
AU  - Li, Kun
TI  - Approximation grossière dʼun problème elliptique à coefficients hautement oscillants
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2013
SP  - 265
EP  - 270
VL  - 351
IS  - 7-8
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.04.008/
DO  - 10.1016/j.crma.2013.04.008
LA  - fr
ID  - CRMATH_2013__351_7-8_265_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Le Bris, Claude
%A Legoll, Frédéric
%A Li, Kun
%T Approximation grossière dʼun problème elliptique à coefficients hautement oscillants
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2013
%P 265-270
%V 351
%N 7-8
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.04.008/
%R 10.1016/j.crma.2013.04.008
%G fr
%F CRMATH_2013__351_7-8_265_0
Le Bris, Claude; Legoll, Frédéric; Li, Kun. Approximation grossière dʼun problème elliptique à coefficients hautement oscillants. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 7-8, pp. 265-270. doi : 10.1016/j.crma.2013.04.008. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.04.008/

[1] Bensoussan, A.; Lions, J.-L.; Papanicolaou, G. Asymptotic Analysis for Periodic Structures, Studies in Mathematics and Its Applications, vol. 5, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, New York, 1978

[2] Blanc, X.; Le Bris, C.; Lions, P.-L. A definition of the ground state energy for systems composed of infinitely many particles, Commun. Partial Differ. Equ., Volume 28 (2003) no. 1–2, pp. 439-475

[3] Blanc, X.; Le Bris, C.; Lions, P.-L. Stochastic homogenization and random lattices, J. Math. Pures Appl., Volume 88 (2007), pp. 34-63

[4] Blanc, X.; Le Bris, C.; Lions, P.-L. A possible homogenization approach for the numerical simulation of periodic microstructures with defects, Milan J. Math., Volume 80 (2012), pp. 351-367

[5] Blasselle, A. Modélisation mathématique de la peau, 2011 (Thèse de lʼUniversité Paris-6)

[6] Bourgeat, A.; Quintard, M.; Whitaker, S. Eléments de comparaison entre la moyenne dʼhomogénéisation et la méthode de prise de moyenne avec fermeture, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. II, Volume 306 (1988), pp. 463-466

[7] Durlofsky, L.J. Numerical calculation of equivalent grid block permeability tensors for heterogeneous porous media, Water Resour. Res., Volume 27 (1991), pp. 699-708

[8] Efendiev, Y.; Hou, T. Multiscale Finite Element Method, Theory and Applications, Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences, vol. 4, Springer, New York, 2009

[9] Hecht, F.; Pironneau, O.; Le Hyaric, A.; Ohtsuke, K., 2007 http://www.freefem.org FreeFem++ (manual)

[10] Jikov, V.V.; Kozlov, S.M.; Oleinik, O.A. Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals, Springer-Verlag, New York, 1994

[11] C. Le Bris, F. Legoll, K. Li, en préparation.

Cited by Sources:

Nous remercions Tony Lelièvre pour de nombreuses discussions à lʼorigine de ce projet.