Nous donnons un encadrement du barycentre convexe de la loi de probabilité uniforme portée par une petite sphère dans la 3-sphère. La majoration est obtenue par construction de fonctions convexes presque affines et la minoration par construction dʼune suite de mesures finies qui converge étroitement vers la loi uniforme portée par un petit cercle en dimension 2 puis en utilisant lʼassociativité des barycentres pour le passage à la dimension 3.
We give upper and lower bounds for the convex barycenter of the uniform law of probability carried on a small sphere in the 3-sphere. The upper bound is obtained with the construction of almost affine convex functions. The lower bound rests on the construction of a sequence of finite measures which converges narrowly to the uniform law carried by a small circle in dimension 2, then we use the associativity of barycenters in order to go over to dimension 3.
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TI - Encadrement du barycentre convexe dʼune loi uniforme portée par une petite sphère $ {S}^{2}$ dans une 3-sphère
JO - Comptes Rendus. Mathématique
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Gorine, M.; Belkhelfa, M. Encadrement du barycentre convexe dʼune loi uniforme portée par une petite sphère $ {S}^{2}$ dans une 3-sphère. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 23-24, pp. 1047-1050. doi : 10.1016/j.crma.2012.11.003. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2012.11.003/
[1] Barycentres convexes et approximations des martingales continues dans les variétés, Séminaire de Probabilités XXIX, Lecture Notes in Math., vol. 1613, Springer, 1995, pp. 70-85
[2] Sur le barycentre dʼune probabilité dans une variété, Séminaire de Probabilités XXV, Lecture Notes in Math., vol. 1485, Springer, 1991, pp. 220-223
[3] Convexity and the hemisphere, J. London Math. Soc. (2), Volume 43 (1991), pp. 223-261
[4] Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature, Grad. Texts in Math., vol. 176, Springer-Verlag, 1997
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