Model spaces for sharp isoperimetric inequalities

Milman, Emanuel

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 19-20, pp. 897-902.

Nous obtenons de nouvelles inégalités isopérimétriques optimales sur une variété Riemannienne munie dʼune mesure de probabilité, dont la courbure de Ricci généraliée (pouvant prendre des valeurs négatives) est bornée inférieurement, et dont la dimension généralisée et le diamètre du support convexe sont bornés supérieurement (éventuellement infinis). Nos inégalités sont optimales pour les ensembles de mesure fixée et par rapport à tous les paramètres (courbure, dimension et diamètre). De plus, pour tout choix des paramètres, nous identifions les espaces modèles qui sont extrémaux pour le problème isopérimétrique considéré. En particulier, nous retrouvons les inégalités isopérimétriques de Gromov–Lévy et de Bakry–Ledoux, qui montrent que lorsque la courbure est bornée inférieurement par une constante strictement positive, ces modèles sont la sphère de dimension n (lorsque la dimension généralisée est n) et lʼespace de Gauss (lorsque la dimension généralisée est infinie). Dans tous les autres cas, notre résultat semble nouveau même dans le cas classique de la mesure de volume, et montre quʼen réalité il nʼy a pas dʼunique espace modèle, mais que cependant une comparaison simultanée avec une famille naturelle à un paramètre dʼespaces modèles est nécessaire et fournit un résultat optimal.

We obtain new sharp isoperimetric inequalities on a Riemannian manifold equipped with a probability measure, whose generalized Ricci curvature is bounded from below (possibly negatively), and generalized dimension and diameter of the convex support are bounded from above (possibly infinitely). Our inequalities are sharp for sets of any given measure and with respect to all parameters (curvature, dimension and diameter). Moreover, for each choice of parameters, we identify the model spaces which are extremal for the isoperimetric problem. In particular, we recover the Gromov–Lévy and Bakry–Ledoux isoperimetric inequalities, which state that whenever the curvature is strictly positively bounded from below, these model spaces are the n-sphere and Gauss space, corresponding to generalized dimension being n and ∞, respectively. In all other cases, which seem new even for the classical Riemannian-volume measure, it turns out that there is no single model space to compare to, and that a simultaneous comparison to a natural one parameter family of model spaces is required, nevertheless yielding a sharp result.

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