Estimées $ {L}^{2}$ pour lʼopérateur $ \overline{\partial }$ sur des domaines pseudoconvexes dans une variété kählerienne complète à courbure bisectionnelle holomorphe strictement positive

Biard, Séverine

doi:10.1016/j.crma.2012.07.010

Analyse complexe

Estimées

L^{2}

pour lʼopérateur

\bar{\partial}

sur des domaines pseudoconvexes dans une variété kählerienne complète à courbure bisectionnelle holomorphe strictement positive

Présenté par : le Comité de rédaction

Biard, Séverine ¹

¹ Institut de mathématiques de Jussieu, UPMC Univ. Paris 6, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 11-12, pp. 565-570.

Résumé
Abstract

Nous étudions des estimées $L^{2}$ pour lʼopérateur $\bar{\partial}$ sur des domaines pseudoconvexes relativement compacts dans une variété kählérienne complète à courbure bisectionnelle holomorphe strictement positive. Nous définissons une fonction $τ_{Ω}$ sur des domaines pseudoconvexes relativement compacts à bord $C^{2}$ . Sur ces domaines, nous prouvons lʼexistence dʼun voisinage du bord sur lequel $τ_{Ω} < 1$ . Une généralisation de cette propriété nous permet, entre autres, de prouver des estimées $L^{2}$ pour lʼopérateur $\bar{\partial}$ sur des domaines pseudoconvexes de fonction définissante plurisousharmonique, à frontière $C^{1}$ tel que $reach (Ω^{c}) > 0$ .

We study $L^{2}$ -estimates for $\bar{\partial}$ on pseudoconvex domains Ω relatively compact in a complete Kähler manifold with positive holomorphic bisectional curvature. We define a function $τ_{Ω}$ on $C^{2}$ -smooth pseudoconvex domains. On these domains, we prove that there exists a neighborhood of ∂Ω on which $τ_{Ω} < 1$ . A generalization of this property allows us, among others, to prove $L^{2}$ -estimates for $\bar{\partial}$ on $C^{1}$ pseudoconvex domains Ω with a defining plurisubharmonic function and a positive inner reach.

Reçu le : 2012-04-17
Accepté le : 2012-07-23
Publié le : 2012-06-01

DOI : 10.1016/j.crma.2012.07.010

Affiliations des auteurs :

Biard, Séverine ¹

¹ Institut de mathématiques de Jussieu, UPMC Univ. Paris 6, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

@article{CRMATH_2012__350_11-12_565_0,
     author = {Biard, S\'everine},
     title = {Estim\'ees $ {L}^{2}$ pour l'op\'erateur $ \overline{\partial }$ sur des domaines pseudoconvexes dans une vari\'et\'e k\"ahlerienne compl\`ete \`a courbure bisectionnelle holomorphe strictement positive},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {565--570},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {350},
     number = {11-12},
     year = {2012},
     doi = {10.1016/j.crma.2012.07.010},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2012.07.010/}
}

TY  - JOUR
AU  - Biard, Séverine
TI  - Estimées $ {L}^{2}$ pour lʼopérateur $ \overline{\partial }$ sur des domaines pseudoconvexes dans une variété kählerienne complète à courbure bisectionnelle holomorphe strictement positive
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2012
SP  - 565
EP  - 570
VL  - 350
IS  - 11-12
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2012.07.010/
DO  - 10.1016/j.crma.2012.07.010
LA  - fr
ID  - CRMATH_2012__350_11-12_565_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Biard, Séverine
%T Estimées $ {L}^{2}$ pour lʼopérateur $ \overline{\partial }$ sur des domaines pseudoconvexes dans une variété kählerienne complète à courbure bisectionnelle holomorphe strictement positive
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2012
%P 565-570
%V 350
%N 11-12
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2012.07.010/
%R 10.1016/j.crma.2012.07.010
%G fr
%F CRMATH_2012__350_11-12_565_0

Biard, Séverine. Estimées $ {L}^{2}$ pour lʼopérateur $ \overline{\partial }$ sur des domaines pseudoconvexes dans une variété kählerienne complète à courbure bisectionnelle holomorphe strictement positive. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 11-12, pp. 565-570. doi : 10.1016/j.crma.2012.07.010. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2012.07.010/

Bibliographie
Cité par

[1] Bangert, V. Sets with positive reach, Arch. Math, Volume 38 (1982), pp. 54-57

[2] Berndtsson, B.; Charpentier, P. A Sobolev mapping property of the Bergman kernel, Math. Z., Volume 235 (2000), pp. 1-10

[3] Cao, J.; Shaw, M.-C. The $\bar{\partial}$ -Cauchy problem and nonexistence of Lipschitz Levi-flat hypersurfaces in ${CP}^{n}$ with $n ⩾ 3$ , Math. Z., Volume 256 (2007), pp. 175-192

[4] Delfour, M.C.; Zolesio, J.-P. Shapes and Geometries: Metrics, Analysis, Differential Calculus, and Optimization, SIAM, 2011

[5] Demailly, J.P. Mesures de Monge–Ampère et mesures plurisousharmoniques, Math. Z., Volume 194 (1987), pp. 519-564

[6] Diederich, K.; Fornaess, J.E. Pseudoconvex domains: Bounded strictly plurisubharmonic functions, Invent. Math., Volume 39 (1977), pp. 129-141

[7] Elencwajg, G. Pseudo-convéxité locale dans les variétés kählériennes, Ann. Inst. Fourier, Volume 25 (1975), pp. 295-314

[8] Federer, H. Curvatures measures, Amer. Math. Soc., Volume 93 (1959), pp. 418-491

[9] Greene, R.E.; Wu, H. On Kähler manifolds of positive bisectional curvature and a theorem of Hartogs, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Volume 47 (1978), pp. 171-185

[10] Greene, R.E.; Wu, H. $C^{\infty}$ approximations of convex, subharmonic and plurisubharmonic function, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., Volume 12 (1979) no. 1, pp. 47-84

[11] Henkin, G.M.; Iordan, A. Regularity of $\bar{\partial}$ on pseudoconcave compacts and applications, Asian J. Math., Volume 4 (2000) no. 4, pp. 855-884

[12] K. Lucas, Submanifolds of dimension $n - 1$ in $E^{n}$ with normals satisfying a Lipschitz condition, Studies in eigenvalue problems, Technical report, Department of Mathematics, University of Kansas, 1957.

[13] Ohsawa, T.; Sibony, N. Bounded P.S.H functions and pseudoconvexity in Kähler manifold, Nagoya Math. J., Volume 149 (1998), pp. 1-8

[14] Suzuki, O. Pseudoconvex domains on Kähler manifold with positive holomorphic bisectional curvature, Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ., Volume 12 (1976/1977), pp. 191-214

[15] Takeuchi, A. Domaines pseudoconvexes infinis et la métrique riemannienne dans un espace projectif, J. Math. Soc. Japan, Volume 16 (1964), pp. 159-181

Cité par Sources :