Courbes algébriques ordinaires et tissus associés

Gruson, Laurent; Hantout, Youssef; Lehmann, Daniel

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 9-10, pp. 513-518.

Soit Γ une courbe algébrique complexe de degré d, intègre et non-dégénérée, dans lʼespace projectif complexe Pn (n⩾3,d⩾n). Notons c(n,h) la dimension (n−1+hn−1) de lʼespace vectoriel des polynômes homogènes de degré h en n variables, et k0 lʼentier ⩾1 tel que c(n,k0)⩽d<c(n,k0+1). Nous appellerons ordinaires les courbes Γ ayant la propriété suivante : lʼensemble des hypersurfaces algébriques dʼun hyperplan « générique » H de Pn, qui sont de degré h et contiennent la section hyperplane Γ∩H, est vide si h⩽k0, et est un espace projectif de dimension égale à c(n,h)−d−1 si h>k0. Pour k0⩾2, ces courbes sont aussi celles dont le tissu associé dans Pˇn est ordinaire, au sens de Cavalier et Lehmann (2012) [1]. Leur genre arithmétique est majoré par le nombre π′(n,d)=∑h=1k0(d−c(n,h)) (=k0d−c(n+1,k0)+1), et cette borne est atteinte pour celles de ces courbes ordinaires qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay. Pour n=3, et tout degré d⩾3, la famille des courbes ordinaires de degré d qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay est non vide et constitue une composante irréductible du schéma de Hilbert Hd,π′(3,d).

Par contraste, les courbes intersections complètes de n−1 hypersurfaces algébriques ne sont jamais ordinaires si k0⩾2.

Let Γ be a complex algebraic curve of degree d, non-degenerate, reduced, and irreducible, in the complex projective space Pn (n⩾3,d⩾n). Denoting by c(n,h) the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h with respect to n variables, let k0 be the integer (⩾1) such that c(n,k0)⩽d<c(n,k0+1). The curve Γ is said to be ordinary if it has the following property: the set of algebraic hypersurfaces of a “generic” hyperplane H of Pn which have degree h and contain the hyperplane section Γ∩H, is empty if h⩽k0, and is a projective space of dimension c(n,h)−d−1 if h>k0. Equivalently when k0⩾2, the associated web in Pˇn of such a curve is “ordinary” in the sense of Cavalier and Lehmann (2012) [1]. The arithmetic genus of an ordinary curve is upper-bounded by the number π′(n,d)=∑h=1k0(d−c(n,h)) (=k0d−c(n+1,k0)+1), and this bound is reached for these ordinary curves which are arithmetically Cohen–Macaulay. For n=3 and any d⩾3, the family of the ordinary curves of degree d which are arithmetically Cohen–Macaulay is non-empty, and is an irreducible component of the Hilbert scheme Hd,π′(3,d).

By contrast, the complete intersection of n−1 algebraic hypersurfaces is never ordinary if k0⩾2.

[1] Cavalier, V.; Lehmann, D. Ordinary holomorphic webs of codimension one, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, cl. Sci. (5), Volume XI (2012), pp. 197-214 (preprint 13/10/2008) | arXiv

[2] Cavalier, V.; Lehmann, D. Rang et courbure de Blaschke des tissus holomorphes réguliers de codimension un, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 346 (2008)

[3] Eisenbud, D. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Springer, 1994

[4] Ellingsud, G. Sur le schéma de Hilbert des variétés de codimension 2 dans Pe à cône de Cohen–Macaulay, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., Volume 8 (1975) no. 4, pp. 423-431

[5] Gruson, L.; Peskine, C. Genre des courbes de lʼespace projectif, Tromsø 1977 (Lecture Notes in Math.), Volume vol. 687, Springer Verlag (1978), pp. 31-59

[6] Harris, J. Curves in Projective Space, Les Presses de lʼUniversité de Montréal, 1982 Chapter III (with the collaboration of D. Eisenbud)