Exemples de faisceaux cohérents sans résolution localement libre en dimension 3

Vuletescu, Victor

doi:10.1016/j.crma.2012.03.020

Géométrie algébrique/Géométrie analytique

Exemples de faisceaux cohérents sans résolution localement libre en dimension 3

Présenté par : Claire Voisin

Vuletescu, Victor ^1,²

¹ Universitatea Bucureşti, Facultatea de Matematică şi Informatică, St. Academiei 14, Bucharest, Roumanie
² “Simion Stoilow” Institute of Mathematics of the Romanian Academy, Romania

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 7-8, pp. 411-412.

Résumé
Abstract

En 1982, Schuster a prouvé que pour toutes les surfaces complexes compactes lisses, tous les faisceaux cohérents $F$ sur X admettent des résolutions

\dots \to E_{n} \to E_{n - 1} \to \dots \to E_{1} \to E_{0} \to F \to 0

avec les

E_{i}

ʼs localement libres (fibrés vectoriels). En 2002, Voisin a prouvé que ceci est faux pour certaines variétés kähleriennes de dimension ⩾3. Dans cette Note, on donne de nouveaux exemples de variétés complexes compactes lisses X de dimension 3 non-kähleriennes et de faisceaux cohérents

F

sur X nʼadmettant pas globalement une résolution localement libre. La preuve que ces faisceaux nʼadmettent pas de résolution localement libre est très différente des arguments de Voisin.

In 1982, Schuster proved that for any compact complex surface X, every coherent sheaf $F$ on X has global resolutions

\dots \to E_{n} \to E_{n - 1} \to \dots \to E_{1} \to E_{0} \to F \to 0

such that the

E_{i}

ʼs are locally free (vector bundles). In 2002, Voisin proved that this is false for some Kähler compact complex manifolds of dimension ⩾3. In this Note, we give some new examples of non-Kähler compact complex manifolds of dimension 3 and coherent sheaves

F

on X having no global resolution by vector bundles. The proof that these sheaves do not admit a locally free resolution is very different from Voisinʼs argument.

Reçu le : 2012-03-21
Accepté le : 2012-03-30
Publié le : 2012-04-01

DOI : 10.1016/j.crma.2012.03.020

Affiliations des auteurs :

Vuletescu, Victor ^{1, 2}

¹ Universitatea Bucureşti, Facultatea de Matematică şi Informatică, St. Academiei 14, Bucharest, Roumanie
² “Simion Stoilow” Institute of Mathematics of the Romanian Academy, Romania

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Vuletescu, Victor. Exemples de faisceaux cohérents sans résolution localement libre en dimension 3. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 7-8, pp. 411-412. doi : 10.1016/j.crma.2012.03.020. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2012.03.020/

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