On the Kostant conjecture for Clifford algebras

Alekseev, Anton; Moreau, Anne

doi:10.1016/j.crma.2011.11.018

Lie Algebras

On the Kostant conjecture for Clifford algebras
[Sur la conjecture de Kostant pour les algèbres de Clifford]

Présenté par : Michèle Vergne

Alekseev, Anton ¹ ; Moreau, Anne ²

¹ Section de mathématiques, université de Genève, 2–4, rue du Lièvre, c.p. 64, CH-1211 Genève 4, Switzerland
² Laboratoire de mathématiques et applications, université de Poitiers, téléport 2, 11, boulevard Marie-et-Pierre-Curie, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 1-2, pp. 13-18.

Résumé
Abstract

Soient $g$ une algèbre de Lie simple complexe, et $h \subset g$ une sous-algèbre de Cartan. Vers la fin des années 1990, B. Kostant définit deux filtrations sur $h$ ; la première utilise les algèbres de Clifford et lʼanalogue impair de la projection de Harish-Chandra ${hc}_{odd} : Cl (g) \to Cl (h)$ , la seconde lʼisomorphisme canonique $\overset{ˇ}{h} = h^{⁎}$ (ici, $\overset{ˇ}{h}$ est la sous-algèbre de Cartan dans lʼalgèbre de Lie simple $\overset{ˇ}{g}$ correspondant au système de racines dual) et lʼaction adjointe du ${sl}_{2}$ -triplet principal. Kostant conjectura que ces deux filtrations coïncident.

Récemment, A. Joseph a démontré que la seconde filtration de Kostant coïncidait avec la filtration sur $h$ induite par la projection de Harish-Chandra généralisée ${(U g \otimes g)}^{g} \to S h \otimes h$ et lʼévaluation au point $ρ \in h^{⁎}$ . Dans cette Note, nous montrons que le résultat de Joseph est équivalent à la conjecture de Kostant. Nous obtenons de plus que la projection de Harish-Chandra standard $U g \to S h$ composée avec lʼévaluation au point ρ induit la même filtration sur $h$ .

Let $g$ be a complex simple Lie algebra, and $h \subset g$ be a Cartan subalgebra. In the end of 1990s, B. Kostant defined two filtrations on $h$ , one using the Clifford algebras and the odd analogue of the Harish-Chandra projection ${hc}_{odd} : Cl (g) \to Cl (h)$ , and the other one using the canonical isomorphism $\overset{ˇ}{h} = h^{⁎}$ (here $\overset{ˇ}{h}$ is the Cartan subalgebra in the simple Lie algebra $\overset{ˇ}{g}$ corresponding to the dual root system) and the adjoint action of the principal ${sl}_{2}$ -triple. Kostant conjectured that the two filtrations coincide.

Recently, A. Joseph proved that the second Kostant filtration coincides with the filtration on $h$ induced by the generalized Harish-Chandra projection ${(U g \otimes g)}^{g} \to S h \otimes h$ and the evaluation at $ρ \in h^{⁎}$ . In this Note, we prove that Josephʼs result is equivalent to the Kostant Conjecture. We also show that the standard Harish-Chandra projection $U g \to S h$ composed with evaluation at ρ induces the same filtration on $h$ .

Reçu le : 2011-11-23
Accepté le : 2011-11-29
Publié le : 2012-01-01

DOI : 10.1016/j.crma.2011.11.018

Affiliations des auteurs :

Alekseev, Anton ¹ ; Moreau, Anne ²

@article{CRMATH_2012__350_1-2_13_0,
     author = {Alekseev, Anton and Moreau, Anne},
     title = {On the {Kostant} conjecture for {Clifford} algebras},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {13--18},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {350},
     number = {1-2},
     year = {2012},
     doi = {10.1016/j.crma.2011.11.018},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.11.018/}
}

TY  - JOUR
AU  - Alekseev, Anton
AU  - Moreau, Anne
TI  - On the Kostant conjecture for Clifford algebras
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2012
SP  - 13
EP  - 18
VL  - 350
IS  - 1-2
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.11.018/
DO  - 10.1016/j.crma.2011.11.018
LA  - en
ID  - CRMATH_2012__350_1-2_13_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Alekseev, Anton
%A Moreau, Anne
%T On the Kostant conjecture for Clifford algebras
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2012
%P 13-18
%V 350
%N 1-2
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.11.018/
%R 10.1016/j.crma.2011.11.018
%G en
%F CRMATH_2012__350_1-2_13_0

Alekseev, Anton; Moreau, Anne. On the Kostant conjecture for Clifford algebras. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 1-2, pp. 13-18. doi : 10.1016/j.crma.2011.11.018. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.11.018/

Bibliographie
Cité par

[1] Alekseev, A.; Meinrenken, E. The non-commutative Weil algebra, Invent. Math., Volume 139 (2000) no. 1, pp. 135-172

[2] Alekseev, A.; Meinrenken, E.; Woodward, C. Group-valued equivariant localization, Invent. Math., Volume 140 (2000) no. 2, pp. 327-350

[3] Alekseev, A.; Mnev, P. One-dimensional Chern–Simons theory, Comm. Math. Phys., Volume 307 (2011), pp. 185-227

[4] Y. Bazlov, Exterior powers of the adjoint representation of a simple Lie algebra, PhD thesis, Weizmann Institute, 2003.

[5] Y. Bazlov, The Harish-Chandra isomorphism for Clifford algebras, preprint, . | arXiv

[6] A. Joseph, Zhelobenko invariants, Bernstein–Gelfand–Gelfand operators and the analogue Kostant Clifford algebra conjecture, preprint, . | arXiv

[7] A. Joseph, Analogue Zhelobenko invariants for the Kostant and Hitchin Clifford algebra conjectures, preprint, . | arXiv

[8] Khoroshkin, S.; Nazarov, M.; Vinberg, E. A generalized Harish-Chandra isomorphism, Adv. Math., Volume 226 (2011), pp. 1168-1180

[9] Khoroshkin, S.; Ogievetsky, O. Mickelsson algebras and Zhelobenko operators, J. Algebra, Volume 319 (2008), pp. 2113-2165

[10] Kostant, B. The principal three-dimensional subgroup and the Betti numbers of a complex simple Lie group, Amer. J. Math., Volume 81 (1959), pp. 973-1032

[11] Kostant, B. Clifford algebra analogue of the Hopf–Koszul–Samelson Theorem, the ρ-decomposition on $C (g) = End V_{ρ} \otimes C (P)$ , and the $g$ -module structure on $\land g$ , Adv. Math., Volume 125 (1997), pp. 275-350

[12] Kostant, B. Dirac cohomology for the cubic Dirac operator, Chevaleret/Rehovot, 2000 (Progr. Math.), Volume vol. 210, Birkhäuser, Boston (2003), pp. 69-93

[13] Rohr, R. Principal basis in Cartan subalgebra, J. Lie Theory, Volume 20 (2010) no. 4, pp. 673-687

Cité par Sources :