Analyse harmonique
Idempotents et échantillonnage parcimonieux
[Idempotents and compressive sampling]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 19-20, pp. 1073-1076.

Comment reconstituer un signal, assimilé à une fonction x définie sur le groupe cyclique ZN, quʼon sait porté par T points, en nʼutilisant sa transformée de Fourier xˆ que sur un ensemble Ω de fréquences ? Le procédé indiqué par Candès (2006) [1], Candès, Romberg et Tao (2006) [2] est lʼextrapolation minimale de xˆ|Ω dans F1. La note traite les questions suivantes : 1) Quand est–il vrai que ce procédé redonne tous les signaux portés par T points ? 2) Si lʼon choisit Ω par sélection aléatoire de points de ZN, N étant très grand, avec quelle probabilité obtient–on par ce procédé tous les signaux portés par T points ? 3) tous les signaux portés par un ensemble S donné ? 4) un signal donné ? Je donne des réponses à 1) et à 2) avec démonstrations, et à 3) sans démonstration. La réponse à 3) améliore les estimations de Candès, Romberg et Tao relatives à 4), la question quʼils traitent. Lʼidempotent K tel que Kˆ=1Ω joue un rôle central.

According to Candès (2006) [1], Candès, Romberg and Tao (2006) [2], a signal is represented as a function x defined on the cyclic group ZN. Assuming that it is carried by a set S consisting of T points, how to reconstruct x by using only a small set Ω of frequencies? The procedure of Candès, Romberg and Tao is the minimal extrapolation of xˆ|Ω in F1, when it exists. 1) When can we obtain in this way all signals carried by T points? 2) Choosing Ω by a random selection of points in ZN with N very large, give an estimate of the probability that the procedure works for all signals carried by T points 3) for all signals carried by a given set S 4) for a given signal. The answers to 1) and 2) are given with proofs and the answer to 3) without proof. Candès, Romberg and Tao answered question 4) and our answer to 3) improves their estimates. A key role is played by the idempotent K such that Kˆ=1Ω.

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DOI: 10.1016/j.crma.2011.08.015
Kahane, Jean-Pierre 1

1 Laboratoire de mathématique, université Paris-sud, bâtiment 425, 91405 Orsay cedex, France
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[1] Candès, Emmanuel J. Compressive sampling, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, 2006

[2] Candès, Emmanuel J.; Romberg, J.; Tao, T. Robust uncertainty principles: exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information, IEEE Transactions on Information Theory, Volume 20 (2006) no. 2, pp. 489-509

Cited by Sources: