Differential Geometry
A class of Poisson structures compatible with the canonical Poisson structure on the cotangent bundle
[Une classe de structures de Poisson compatibles avec la structure de Poisson canonique sur le fibré cotangent]
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 5-6, pp. 331-335.

Soit M une variété différentiable munie dʼun tenseur de Poisson σ et dʼune métrique riemannienne g et soit J=σ##1 le tenseur de type (1,1) reliant σ à g. Il est connu que J se relève à TM et définit un champ de bivecteur ΠJ qui est de Poisson et compatible avec la structure de Poisson canonique de TM si la torsion de J est nulle. On considère la structure dʼalgébroide de Lie sur TM associée à σ. Elle définit par dualité un tenseur de Poisson Πσ sur TM. Notons Πσg le tenseur de Poisson sur TM image de Πσ par lʼisomorphisme musical associé à g. Nous montrons que les trois assertions suivantes sont équivalentes : (a) Πσg est compatible avec la structure de Poisson canonique sur TM, (b) Πσg=ΠJ, (c) σ est parallèle par rapport à la connexion de Levi-Civita de g.

Nous donnerons une large classe dʼexemples illustrant cette situation.

Let M be a smooth manifold endowed with a Poisson tensor σ and a Riemannian metric g and let J=σ##1 be the (1,1) tensor field relating σ to g. It is well known that the complete lift of J defines a bivector field ΠJ on TM which is a Poisson tensor compatible with canonical Poisson structure on TM if J is torsionless. We consider the Lie algebroid structure on TM associated to σ. It defines by duality a Poisson tensor Πσ on TM. Denote by Πσg the Poisson tensor on TM pull-back of Πσ by the musical isomorphism associated to g. We show that the following three assertions are equivalent: (a) Πσg is compatible with the canonical Poisson structure on TM, (b) Πσg=ΠJ, (c) σ is parallel with respect to the Levi-Civita connection of g.

We give also a large class of examples illustrating this situation.

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DOI : 10.1016/j.crma.2011.01.027
Boucetta, Mohamed 1 ; Saassai, Zouhair 1

1 Université Cadi-Ayyad, Faculté des sciences et techniques Gueliz, BP 549, 40000 Marrakech, Morocco
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Boucetta, Mohamed; Saassai, Zouhair. A class of Poisson structures compatible with the canonical Poisson structure on the cotangent bundle. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 5-6, pp. 331-335. doi : 10.1016/j.crma.2011.01.027. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.01.027/

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